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第16讲┃二次函数的应用第16讲┃考点聚焦考点聚焦考点1二次函数的应用二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．第16讲┃考点聚焦考点2建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键．第16讲┃归类示例归类示例►类型之一利用二次函数解决抛物线形问题命题角度：1.利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形问题；2.利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．第16讲┃归类示例如图16－1，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．图16－1第16讲┃归类示例[解析](1)利用h＝2.6，将(0，2)代入解析式求出即可；(2)利用当x＝9时，y＝－160(x－6)2＋2.6＝2.45，当y＝0时，－160(x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可；(3)根据当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h的图象还过(0，2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图象过点(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h的图象还过点(0，2)分别得出h的取值范围，即可得出答案．第16讲┃归类示例解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得：a＝－160，故y与x的关系式为：y＝－160(x－6)2＋2.6.(2)当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，－160(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋239＞18，x2＝6－239(舍去)．故球会出界．第16讲┃归类示例(3)当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)点，代入解析式得：2＝36a＋h，0＝144a＋h，解得：a＝－154，h＝83，此时二次函数解析式为：y＝－154(x－6)2＋83，此时球若不出边界则h≥83.第16讲┃归类示例当球刚能过网，此时函数图象过点(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h的图象还过点(0，2)，将两点坐标代入解析式得：2.43＝a（9－6）2＋h，2＝a（0－6）2＋h，解得a＝－432700，h＝19375，此时球要过网则h≥19375.∵83＞19375，∴h≥83，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥83.►类型之二二次函数在营销问题方面的应用第16讲┃归类示例命题角度：二次函数在销售问题方面的应用．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：图16－2第16讲┃归类示例请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？第16讲┃归类示例[解析](1)相等关系：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；按零售价买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元．(2)利润＝(售价－进价)×件数．解：(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．根据题意，得x＋y＝5，3（x＋1）＋2（2y－1）＝19，解得x＝2，y＝3答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元.第16讲┃归类示例(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则s＝(1－m)500＋100×m0.1＋(5－3－m)300＋100×m0.1即s＝－2000m2＋2200m＋1100＝－2000(m－0.55)2＋1705.∴当m＝0.55时，s有最大值，最大值为1705.答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．第16讲┃归类示例二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数表达式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．►类型之三二次函数在几何图形中的应用第16讲┃归类示例命题角度：1.二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及最大面积，最小距离等；2.在写函数表达式时，要注意自变量的取值范围．第16讲┃归类示例如图16－3，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝xcm.(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；第16讲┃归类示例(2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S最大，试问x应取何值？图16－3第16讲┃归类示例[解析](1)根据已知得出这个正方体的底面边长a＝2xcm，EF＝2a＝2x(cm)，再利用AB＝24cm，求出x进而可得出这个包装盒的体积V；(2)利用已知表示出包装盒的表面面积，进而利用函数最值求出即可．第16讲┃归类示例解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝2xcm，EF＝2a＝2x(cm)，∴x＋2x＋x＝24，x＝6，a＝62cm，V＝a3＝(62)3＝4322(cm3)．(2)设包装盒的底面边长为ycm，高为hcm，则y＝2x，h＝24－2x2＝2(12－x)，∴S＝4yh＋y2＝42x·2(12－x)＋(2x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384，∵0x12，∴当x＝8时，S取得最大值384cm2.第16讲┃归类示例二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求表达式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．第16讲┃回归教材回归教材如何定价利润最大教材母题北师大版九下P66随堂练习第1题某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？第16讲┃回归教材解：设销售单价为x元，销售利润为y元，则y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.所以当x＝35，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．第16讲┃回归教材中考变式[2013·北京]某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x辆时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益不盈也不亏？第16讲┃回归教材解：(1)(1400－50x)(2)y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元．(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y＝0.即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2＝4.∵x＝24不合题意，舍去．∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏.