2.1.1椭圆的标准方程(上课)

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2.1椭圆(第1课时)平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.222)()(rbyax标准方程:定义:222xyr圆的定义及标准方程是什么?OxyCrOxy思考:(1)椭圆是哪些点的集合?(2)椭圆的标准方程是什么呢?1F2FM112.图?,?,,,),11.2(,.,,,,,足的几何条件吗满动点你能说出移动笔尖在这一过程中曲线画出的轨迹是什么移动笔尖拉紧绳子上铅笔套图处分别固定在图板的两点段距离一如果把细绳的两端拉开画出的轨迹是一个圆动点这时笔尖动笔尖移拉紧绳子套上铅笔定在图板的同一点处把它的两端都固细绳的长条定取一究探探究结论:若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是()若常数等于|F1F2|,则点M的轨迹是()若常数小于|F1F2|,则点M的轨迹()平面内与两定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.)(21FF大于这两个定点叫做椭圆的焦点.两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.1F2FM椭圆线段F1F2不存在以所在直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,12,FF12,FF122(22)PMMFMFaac221222MFxcyMFxcy,0c,0c,xy设M(x,y)是椭圆上任意一点1212FF=2c,F,F-c,0,c,0那么的坐标分别是由椭圆的定义,椭圆就是集合2FM1Fxyo22222xcyxcya22222222caayaxca222aac两边同除以(-),得:222221xxaac思考?观察右图,你能从中找出表示a,c,的线段吗?22acF1F2M0xy由椭圆的定义可知,2a2c即ac所以220ac令220bacb代入上式得22221xyab0ab只需将x,y交换位置即得椭圆的标准方程:F2F1Mxyo如果以椭圆的焦点所在直线为y轴,且F1、F2的坐标分别为(0,-c)和(0,c),a、b的含义都不变,那么椭圆又有怎样的标准方程呢?222210yxabab22221xyab222cab0ab22221yxab其中222cab其中焦点在x轴上焦点在y轴上1A2FM1Fxyo1B2A2Boxy2FM1F1A1B2A2Bacbc0ab方程特点(2)在椭圆两种标准方程中,总有ab0;(4)a、b、c都有特定的意义,a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.有关系式成立。xOF1F2y椭圆的标准方程OF1F2yx(3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上;12222byax12222bxay(1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1;222cba22(2)12516xy2222(5)11xymm22(1)11616xy22(3)9252250xy22(4)321xy练习:下列方程哪些表示椭圆?若表示椭圆焦点在那个轴上?(独立思考后回答)22221.153xy,则a=,b=;22222.146xy,则a=,b=;5346口答:则a=,b=;则a=,b=.37169.322yx6147.422yx2例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0).(2)焦点在y轴上且经过两个点(0,2)和(1,0)510)45()45(222aa4c又19259162522222yxcab故所求椭圆的方程为)0(12222babyax解:由于椭圆的焦点在x轴上,故设它的标准方程为例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0).(2)焦点在y轴上且经过两个点(0,2)和(1,0)1422xy故所求椭圆的方程为)0(12222babxay解:(2)由于椭圆的焦点在y轴上,故设它的标准方程为由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)1101042222baba1422ba2、已知椭圆的方程为:,请填空:a=,b=,c=,焦点坐标为,焦距等于.22110036xy1、a=5,c=4的椭圆标准方程是。课堂练习:106816(-8,0)、(8,0)4192522yx192522xy或3、若M为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱=.1162522yx课堂小结:1、椭圆的定义:我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。21,FF(大于)||21FF(ac)即2a||||21MFMF2、椭圆的图形与标准方程这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距。MOxyF1F2MO2222+=10xyabab标准方程中,分母哪个大,焦点就在哪个轴上12-,0,0,FcFc120,-0,,FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标a、b、c的关系焦点在x轴上焦点在y轴上222bac)0(12222babxayxyF1F2

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