2.1.2椭圆的简单几何性质 (3)直线与椭圆的位置关系

2.1.2椭圆的简单几何性质（3）高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程直线与椭圆的位置关系前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的几何性质,可以体会到坐标法研究几何图形的重要作用,其实通过坐标法许多几何图形问题都可以转化为方程知识来处理.当然具体考虑问题,我们的思维要灵活,用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大提高分析问题、解决问题的能力.本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与圆的方程消元得到二元一次方程组(1)△0直线与圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与圆相切有且只有一个公共点；(3)△0直线与圆相离无公共点．通法直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)直线与椭圆的位置关系的判定代数方法222201AxByCxyab由方程组20(0)mxnxpm24nmp△=0△0△=0△方程组有两解两个交点相交方程组有一解一个交点相切方程组无解无交点相离1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组(1)△0直线与椭圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；(3)△0直线与椭圆相离无公共点．通法知识点1.直线与椭圆的位置关系例1：直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。1522myx221:15ykxxym解22(5)10550mkxkxm22104(5)550kmkm△（）（）22(51)0mkm255510,55kkk即或时，25510,5kk即时，2(,0][15,)mkmR255510,55kk即时，2(,15][0,)mk题型一：直线与椭圆的位置关系练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足()A.没有公共点B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点22194xyD题型一：直线与椭圆的位置关系6k366kk-3366-k33当=时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.例3:已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?lmm题型一：直线与椭圆的位置关系2214-5400.259xylxyl例3：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？oxyml解：设直线平行于，224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去，得题型一：直线与椭圆的位置关系22064-425-2250kk由，得（）450lxyk则可写成：12k25k25解得=，=-25.k由图可知oxy45250mxy直线为：22402515414145mld直线与椭圆的交点到直线的距离最近。且思考：最大的距离是多少？题型一：直线与椭圆的位置关系2214-5400.259xylxyl例3：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？max22402565414145d练习：已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。2121xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆0因为所以，方程（１）有两个根，那么，相交所得的弦的弦长是多少？则原方程组有两组解….-----(1)由韦达定理51542121xxxx222212121212126()()2()2()425ABxxyyxxxxxx设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．弦长公式：221||1||1||ABABABkxxyyk知识点2：弦长公式当直线斜率不存在时,则12AByy.可推广到任意二次曲线例1：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．题型二：弦长公式222::4,1,3.abc解由椭圆方程知(3,0).F右焦点:3.lyx直线方程为22314yxxy258380yxx消得：1122(,),(,)AxyBxy设1212838,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点，求1FAB△的面积.分析:先画图熟悉题意,点1F到直线AB的距离易知,要求1FABS△,关键是求弦长AB.设1122(,),(,)AxyBxy.由直线方程和椭圆方程联立方程组题型二：弦长公式焦点，过2F作倾斜角为4的直线，求1FAB△的面积.解:∵椭圆2212xy的两个焦点坐标12(1,0),(1,0)FF∴直线AB的方程为1yx由22112yxxy消去y并化简整理得设1122(,),(,)AxyBxy2340xx∴12124,03xxxx∴22221212121212()()2()2()4ABxxyyxxxxxx=423∵点1F到直线AB的距离d0(1)12=2∴112FABSdAB=142223=43.答:1FAB△的面积等于43例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右例3：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题例3已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差题型三：中点弦问题知识点3：中点弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．112200(,),(,),(,)AxyBxyABMxy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122(,),(,)AxyBxy在椭圆上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa即2111221211AByyxxbkxxayy2020xbay直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．例3已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题例4、如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值。221axby22,AB22oxyABM22110axbyxy解:2)210yabxbxb消得:(2)(1)0babb=4-4(abab1122(,),(,)AxyBxy设121221,bbxxxxabab(,)baABMabab中点2212121()4ABkxxxx又MOakb222ba221222()4bbabab12,33ab练习：1、如果椭圆被的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（）A、x-2y=0B、x+2y-4=0C、2x+3y-12=0D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（）A、（0，1）B、（0，5）C、[1，5）∪（5，+∞）D、（1，+∞）3、过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|=_______,DC193622yx1522myx165练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线：2225945yxxy由2143690xx得：1212189,714xxxx2212126111()47kxxxx弦长练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.22:(2)519145解(1,1)A在椭圆内。1122(,),(,)AMNMxyNxy设以为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590xxyy两式相减得：（）（）1212121259MNyyxxkxxyy5951(1)9AMNyx以为中点的弦为方程为:59140xy3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何曲线）212124·11yyyyk）（2122124·1xxxxk）（小结解方程组消去其中一元得一元二次型方程△0相离△=0相切△0相交练习巩固:1.过椭圆221164xy内一点(2,1)M引一条弦,使弦被点M平分,求这条弦所在的直线方程.2.椭圆221164xy上的点到直线220xy最大距离是________.3.已知椭圆的焦点12(3,0),(3,0)FF且和直线90xy有公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.240xy102214536xy思考3:已知椭圆22195xy的焦点为12,FF,在直线:60lxy上找一点M,求以12,FF为焦点,通过点M且长轴最短的椭圆方程.2212016xy分析:∵椭圆的焦点为(2,0),(2,0)关键是怎样求出椭圆的长轴大小.思考3:已知椭圆22195xy的焦点为12,FF,在直线:60lxy上找一点M,求以12,FF为焦点,通过点M且长轴最短的椭圆方程.12:(2,0),(2,0)FF解椭圆的焦点为200(2,0)60(,)FxyFxy设关于直线的对称点0000(1)1226022yxxy由0064xy解得：(6,4)F1245FFa25a2c4b2212016所求椭圆方程为：xy思维挑战题:试确定实数m的取值范围,使得椭圆22143xy上存在关于直线2yxm对称的点.122yxbyxm分析：存在直线与椭圆交与两点，且两交点的中点在直线上。12AByxb则两点的直线可设为：:2,yxmAB解假设椭圆上存在关于直线对称的两点