2.1.2由曲线求它的方程,由方程研究曲线的性质

2.1.2由曲线求它的方程，由方程研究曲线的性质在研究直线与圆的方程时，我们已经看到解析几何主要推论下面两个基本问题：1．由曲线求它的方程；2．利用方程研究曲线的性质.下面让我们通过实例，进一步体会如何建立曲线的方程，以及如何利用方程以及曲线的性质。例1．设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1，求动点M的轨迹方程并利用方程以及轨迹(曲线)的性质。解：（1）求动点M的轨迹方程：①建立直角坐标系.取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy；②设动点M的坐标为(x，y)；③把几何条件转化为坐标表示：过点M分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，有轨迹上的点M与两坐标轴的距离之积等于1，得点M是轨迹上的点|ME|·|MF|=1因为点M与x轴的距离|ME|=|y|，与y轴的距离|MF|=|x|，所以上述条件转化为方程的表示：|x|·|y|=1.这个方程等价于xy=1或xy=－1.这就是说，M(x，y)在曲线上，则它的坐标满足方程，以|x|·|y|=1的解为坐标的点M(x，y)都在曲线上。因此方程|x|·|y|=1为所求动点轨迹的方程.④证明(略)；（2）利用方程研究曲线的性质：①曲线的组成由于方程|x|·|y|=1等价于下列两个方程xy=1或xy=－1，每一个方程都表示一条曲线，由此可知表示方程的曲线由上述两个方程的曲线组成；②曲线与坐标轴的交点由方程|x|·|y|=1，可推知x≠0且y≠0，因此方程的曲线与两坐标轴没有交点，方程对应的曲线被两条坐标轴分开；③曲线的对称性质在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，这个方程并未变化，因此方程的图象关于y轴对称.在方程|x|·|y|=1中，以－y代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于x轴对称;在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，同时以－y代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于原点中心对称.由以上分析可知，这个方程所表示的曲线，既是轴对称图形，也是中心对称图形。因此在我们研究方程的曲线时，只要研究它在第一象限那一部分曲线即可；④曲线的变化情况由曲线的对称性质，我们只考虑第一象限的情况(x0，y0)，由方程可知，当变量x逐渐变大时，变量y的值逐渐变小，曲线无限地靠近x轴；当变量x逐渐变小时，变量y的值逐渐变大，曲线无限地靠近y轴；⑤画出方程的曲线列表：31212131x…123…y…321…由以上对方程的分析和列表，可以画出方程的曲线在第一象限那一部分；再根据曲线的对称性，可画出方程所表示的整个曲线.例2．已知一曲线在x轴的上方，它上面的每一个点到点A(0，2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。解：设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P={M||MA|－|MB|=2}，由距离公式，点M适合的条件可表示为22(2)2xyy化简为x2=8y，因为曲线在x轴的上方，所以y0，显然(0，0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是x2=8y(y≠0).例3．已知平面上两个定点A、B之间的距离为2a，点M到A、B两点的距离之比为2：1，求动点M的轨迹方程。解：以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，由AB=2a，可设A(－a，0)，B(a，0)，M(x，y)，∴∵|MA|：|MB|=2：1，2222()2()xayxay化简得222516()39xaya所以动点M的轨迹方程为222516()39xaya例4．画出方程y2－4x－4=0的曲线。解：（1）范围：∵y2=4x+4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，所以曲线在直线x=－1的右侧，向上向下无限延伸;（2）对称性：用－y代替y，方程不变，故曲线关于x轴对称；（3）截距：令y=0，得x=－1，令x=0，得y=±2；即曲线的横截距为－1，纵截距为±2；（4）列表：x－10123……y0±2±2.8±3.46±4……（5）描点作图.课堂练习1．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是（）（A）x－y－1=0（B）x－y+1=0（C）x+y－1=0（D）x+y+1=0C2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（）（A）|x|－|y|=1（B）|x－y|=1（C）|x|－|y|=±1（D）|x±y|=1C3．已知点M(－2，0)、N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（）（A）x2+y2=4(x≠±2)（B）x2+y2=4（C）x2+y2=16（D）x2+y2=16(x≠±4)A4．方程所表示的图形是（）（A）x2=y的图形在第二象限的部分（B）与x2=y的图形相同（C）与x2=－y的图形相同（D）x2=－y的图形在第四象限的部分0(0)xyxA5．方程(x+a)(y－a)=0表示的曲线是（）（A）两条相交的直线（B）一个点(－a，a)（C）与方程组的图形相同（D）第一、三象限的角平分线00xayaA6．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程。4x－3y－16=0或4x－3y+24=07．已知点M到点F(0，1)和直线l：y=－1的距离相等，求点M的轨迹方程。214yx8．已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|=3，求顶点A的轨迹方程。x2+y2－20x+64=0(y≠0)