2.1.3 函数的简单性质---奇偶性

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1.3函数的简单性质---奇偶性观察下图，思考并讨论以下问题：(1)两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？(2)怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们的函数值相等。即f(-x)=f(x),这时我们称这样的函数为偶函数.情景创设观察下图，思考并讨论以下问题：(1)两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？(2)怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？情景创设f(x)=xf(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们的函数值也成相反数。即f(-x)=-f(x),这时我们称这样的函数为奇函数.f(x)=1/x;)(,,,functionevenxfyxfxfxxf是数函称么那有都的定义域内的任意一个如果对于函数一般地偶函数;)(,,functionoddxfyxfxfxxf是那么称函数都有的定义域内的任意一个如果对于函数奇函数.,,1整体性质函数的奇偶性是函数的具有奇偶性我们就说函数是奇函数或偶函数、如果函数xfxf注：2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．数学构建3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.5、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.4、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：A、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性()fx（1）若则是偶函数；(1)(1),ff()fx（2）若对于定义域内的一些，使则是偶函数；x()(),fxfx()fx（3）若对于定义域内的无数个，使则是偶函数；()fxx()(),fxfx（4）若对于定义域内的任意，使则是偶函数；x()(),fxfx()fx（5）若则不是偶函数。(1)(1),ff()fx对于定义在上的函数，R【练习1】判断：.14;||23;22;11122xxfxxfxxfxxf函数或奇函数判定下列函数是否为偶例.Rxxf的定义域是函数解112,,xfxxxfRx1122都有因为对于任意的.是偶函数函数所以12xxf.Rxxf的定义域是函数22,,xfxxxfRx22都有因为对于任意的.是奇函数函数所以xxf2判断定义域是否关于数原点对称验证下结论(1)、先看（求）定义域，看是否关于原点对称；(2)、验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.用定义判断函数奇偶性的步骤：(3)、下结论.14;||23;22;11122xxfxxfxxfxxf函数或奇函数判定下列函数是否为偶例.||Rxxf的定义域是函数23,||||,xfxxxfRx22都有因为对于任意的.||是偶函数函数所以xxf2.Rxxf的定义域是函数214.,,,11114101ffffff所以因为.,,函数既不是奇函数也不是偶可知函数根据函数奇偶性定义因此21xxf【练习2】下列判断是否正确)(12x-x(3)f(x))(x－1x1x)－(1(2)f(x))(1)()1(22是非奇非偶函数是偶函数是奇函数xxxxf××√【练习3】、判断下列函数的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf(1)解：定义域为R∵f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数(2)解：定义域为Rf(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(3)解：定义域为{x|x≠0}∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(4)解：定义域为{x|x≠0}∵f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数]3,1[,)()5(2xxxf.523是否具有奇偶性判断函数例xxxf.Rxxxf的定义域是函数解53,,xfxxxxxxxfRx555333都有因为对于任意的.为奇函数函数所以xxxf53.1513是否具有奇偶性函数：变式xxxf.5224是否具有奇偶性函数：变式xxxf.15324是否具有奇偶性函数：变式xxxff(2)1f(-2)5bxaxf(x)2005则，且思考、设9思考题：1、函数y＝5是奇函数还是偶函数？2、函数y＝0是奇函数还是偶函数？０５Y＝５Y＝０YYxx偶函数是偶函数也是奇函数例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略相等思考：从图像你有何发现？ab-a-b在对称区间上奇函数单调性同,偶函数单调性反本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、三个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称在对称区间上奇函数单调性同,偶函数单调性反的解析式。并画出图像上在，求函数时，且上的奇函数，是定义在、已知函数例Rf(x)1xf(x)0xRf(x)3。。)0(1x--0)(x00)(x1xxy利用对称性求函数的解析式f(x)0xx1x-1f(x)0xf(x)时，则当时，当，练习：偶函数xx11