实物期权的定价模型

实物期权定价模型实物期权定价模型的种类较多,理论界和实务界尚未形成通用定价模型,主要估值方法有三种。目前实物期权定价的三类方法偏微分法：Black-Scholes模型。（通过解析方法直接求解出，期望的表达式）动态规划法：二叉树定价模型。（使用数值方法求得期望）模拟法：蒙特卡罗模拟法。（通过大量模拟的方法求期望）布莱克-斯科尔斯期权定价模型模型假设条件：金融资产价格服从对数正态分布；在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；金融资产在期权的有效期内无红利及其它利得；该期权是欧式期权；布莱克-斯科尔斯期权定价模型布莱克－斯科尔斯期权定价方法的基本思想是，衍生资产的价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因素的影响，二者遵循相同的维纳过程。如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头寸和标的资产头寸的资产组合，可以消除维纳过程，标的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以相互抵消。由这样构成的资产组合为无风险的资产组合，在不存在无风险套利机会的情况下，该资产组合的收益应等于无风险利率，由此可以得到衍生资产价格的Black-Scholes微分方程。布莱克-斯科尔斯期权定价模型布莱克-斯科尔斯模型假定期权的基础资产现货价格的变动是一种随机的“布朗运动”(BrownianMotion)，其主要特点是：每一个小区内价格变动服从正态分布，且不同的两个区间内的价格变动互相独立。Black—Scholes微分方程：rCSSCSCSrtCf222221布莱克-斯科尔斯期权定价模型TTrdKS)()ln(2120欧式看涨期权的价格可通过下式计算：其中看跌TTrdKS)()ln(2220)()(210dNKedNSCrT)()(102dNSdNKePrT布莱克-斯科尔斯期权定价模型0SK—期权的执行价格；Ｓ0—标的资产当前的市场价格；ｒ—无风险连续年复利；σ—标的资产的风险，以连续计算的年回报率的标准差来测度；T—为离期满日的时间，以占一年的几分之几Ｎ（·）—正态分布变量的累积概率分布函数。布莱克—斯科尔斯期权定价模型正确使用布莱克－斯科尔斯公式必须注意其它几个参数的选择：(1)该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次,而ｒ要求利率连续复利。r0必须转化为ｒ方能代入上式计算。两者换算关系为:ｒ=ln(1+r0)或r0=er-1。(2)期权有效期Ｔ应折合成年数来表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为183天,则Ｔ=183/365=0.501。(3)对波动率的计算。通常通过标的资产历史价格的波动情况进行估算。基本计算方法为：先取该标的资产过往按时间顺序排好的n+1个历史价格（价格之间的时间间隔应保持一致，如一天、一周、一月等）；布莱克—斯科尔斯期权定价模型利用这一组数据计算n个连续复合收益率，计算公式为：r=ln[P(st)/P(st-1)]上述公式表示对时间间隔内的收益取自然对数，得到连续复合的收益率；计算上述n个收益率的样本标准差就得到了相应时间跨度的波动率，如果时间跨度为周，便称为周收益波动率，如果时间跨度为月，便称为月收益波动率，以此类推。但是，在布莱克－斯科尔斯公式的计算中，我们需要的是年收益波动率，因此，需要将上述波动率转化为年收益波动率，转化的方法是：利用下述等式进行计算年波动率的平方=某期限收益波动率的平方×（1年中包含的期数）。布莱克-斯科尔斯期权定价模型应用假定有个6个月期限（T=6）的股票看涨期权需要定价。现行的股价（S）为100美元，股票收益率的年度标准差（σ）为50%，期权的协定价格（K）为100美元，无风险收益率（r）为年率10%。请计算出期权价格。布莱克-斯科尔斯期权定价模型计算过程如下：d1=[ln(100/100)+(0.1+0.5×0.25)×0.5]/(0.5×0.707)=0.318d2=0.318-0.5×0.707=-0.0355查表可知：N(d1)=0.6236N(d2)=0.4859带入公式得到：C=100×0.6236-(100×0.4859)/(e0.1×0.5)=16.14元实物期权的二叉树模型由三位教授提出的二叉树模型是一个重要的概率模型定价理论,它同Ｂ-Ｓ模型在很多方面都十分相似,运用这两个模型对期权定价的结果基本上一致。从逻辑原理来看,二叉树定价模型可以说是Ｂ-Ｓ模型的逻辑基础,虽然Ｂ-Ｓ模型是被较早提出。但Ｂ—Ｓ模型过于抽象,且其中包括Ｐｉｎｄｙｃｋ所提出的项目未来受益的不确定性服从几何布朗运动的假设,导致模型复杂求解困难,成为实物期权推广中的最大障碍。而二叉树定价模型直观易懂,优点有:①适用范围广;②应用方便,仍保留ＮＰＶ法分析的外观形式;③易于理解,易列出不确定性和或有决策的各种结果。1、标的资产的未来价格只有上涨或下跌两种情况2、标的资产的未来价格上涨或下跌的报酬率己知，且投资人能利用现货市场及资金借贷市场，建立与期权报酬变动完全相同之对冲资产组合3、无摩擦之市场，亦即无交易成本、税负等，且证券可以无限分割CRR模型的基本假设实物期权的二叉树模型4、借贷利率均相等，皆为无风险利率。5、每一期之借贷利率(r)、上涨报酬率〔u)及下跌报酬率(d)均为己知，且存在以下关系，否则将出现无风险套利机会。u1且d1uRd，其中R=l+rCRR模型的基本假设实物期权的二叉树模型CRR模型估值方法1）动态复制技术动态复制技术是期权定价的核心思想,关键是寻找一个与所要评价的实际资产或项目有相同风险特征的可交易证券,并用该证券与无风险债券的组合复制出相应的实物期权的收益特征。动态复制技术就是把该项资产或项目看作一项金融资产,用△份该资产或项目和价值为ｙ的无风险债券来复制实物期权，设ｖ0为项目的当前的现金流入价值,ｖ+是项目成功的期望现金流入价值,ｖ-是项目失败的期望现金流入价值,ｃ是项目的期权价值,ｃ+是项目成功时的期权价值,ｃ-是项目失败时的期权价值,ｒ表示无风险利率。实物期权的二叉树模型CyrVCyrVCyVVCV)1()1(0，实例分析假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该期权进行估值？实物期权的二叉树模型解决思路----动态复制技术如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。计算过程----动态复制技术当股票价格从$20上升到$22时，该证券组合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时，该证券组合的总价值为18Δ。完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。由22Δ—1=18Δ得Δ=0.25因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个看涨期权空头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5实物期权的二叉树模型计算过程----动态复制技术在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为：4.5e-0.12×0.25=4.3674股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。组合现在的价值=有效期结束时的价值按无风险利率贴现因此，由20×0.25－f=4.3674得f=0.633如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会实物期权的二叉树模型CRR模型估值方法2)、风险中性估值风险中性假设假定管理者对不确定性持风险中性态度,其核心环节是构造出风险中性概率。期权定价属于无套利均衡分析,适合于风险中性假。风险中性假设的核心环节是构造出风险中性概率ｐ和(1-ｐ),然后由公式ｃ=[ｐｃ+(1-ｐ)ｃ-]/(1+ｒ)得出期权的当前价值,风险中性概率为:ｐ=[(1+ｒ)ｖ0-ｖ-]/(ｖ+-ｖ-)和(1-ｐ),显然ｐ和(1-ｐ)并不是真实的概率。由于期权定价属于无套利均衡分析,参与者的风险偏好不影响定价结果,所以可用风险中性概率替代真实概率。实物期权的二叉树模型实例分析假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该期权进行估值？风险中性估值变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样，pfu+(1-p)fd就是衍生证券的预期收益。可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值实物期权的二叉树模型风险中性估值股票的预期收益率一定等于无风险利率12％则有：22p+18(1-p)=20e0.12×0.25即4p=20e0.12×0.25-18得p=0.6523在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率为0.6523，价值为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：0.6523×1+0.3477×0=$0.6523按无风险利率贴现得期权现在的价值：f=0.6523e-0.12×0.25=0.633实物期权的二叉树模型一个应用某公司研制出一项新技术,并获得专利,现准备将此技术应用于公司一项新产品的生产预计建立生产该新产品的设备需要投入Ｉ=300万元,产品投入市场后每年可以产生税后现金流量100万元,项目可以在无竞争条件下持续进行4年,经市场部门调研,该项目最大的不确定性来源于市场对新产品的反应,估计产品未来现金流量波动率为45%。根据项目的风险性质,公司期望投资回报率为15%,4年期国债利率为5%公司是否对该项目进行投资？实物期权的二叉树模型该项目ＮＰＶ值-300+100(Ｐ/Ａ,ｉ,4)=-15.4万元0根据传统判断规则,该项目不可行一个应用实物期权的二叉树模型一个应用套用二叉树定价模型计算推迟起期权的价值模型中的几个份量的价值如下:ｖ0=100(Ｐ/Ａ,15%,4)=285.5万元ｖ+=100(1+45%)(Ｐ/Ａ,15%,4)=413.975万元ｖ-=100(1-45%)(Ｐ/Ａ,15%,4)=157.025万元ｃ+=ｍａｘ(ｖ+-Ｉ,0)=113975万元ｃ-=ｍａｘ(ｖ--Ｉ,0)=0实物期权的二叉树模型VCV一个应用实物期权的二叉树模型1、利用动态复制技术确定项目期权价值,代入数据计算得到:△=0444,ｙ=695229,从而ｃ=60.352万元即该投资项目的期权价值(考虑进优先选择权)为60.35万元CyrVCyrVCyVVCV)1()1(0，一个应用2、利用风险中性假设根据风险中性假设分析方法,风险中性概率为:ｐ=[(1+ｒ)ｖ0-ｖ-]/(ｖ+-ｖ-)=0.5561-ｐ=0.444而ｃ+=113.975,ｃ-=0故期权价值为:ｃ=[ｐｃ++(1-ｐ)ｃ-]/(1+ｒ)=60.352万元两种假设计算的结果一致实物期权的二叉树模型研究项目总价值：ＮＰＶ+期权价值=-15.4+60.352=44.952万元上述结果表明,在运用传统判断方法ＮＰＶ0的情况下,考虑企业持有的优先选择权价值,由于项目总价值大于0,所以该项目值得投资。又因为立刻投资的价值-15.4万元,因此该公司应持有该项期权,即推迟4年进行投资一个应用实物期权的二叉树模型蒙特卡罗模拟法蒙特卡罗模拟法﹙MonteCarloSimulation﹚假设投资组合的价格变动服从某种随机过程的型态，因此可以借由计算机模仿，产生几百次、几千次、甚至几万次可能价格的路径，并依此建构投资组合的报酬分配，进而推估其风险值。蒙特卡罗模拟法，基本上是一种基于大数