[原创]2011年《随堂优化训练》数学 北师大版 八年级 第一章 3 蚂蚁怎样走最近 [配套课件]

3蚂蚁怎样走最近几何体表面的最短距离(难点)解决空间几何体表面的最短距离问题的策略是转化，将所研究的几何体展开后得到平面图形，再根据两点之间______最短，构造直角三角形求最短距离．线段随堂小练1．图1，在长方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的34且BE＝16，BF＝30，则由E到F的最短距离________．图12．某工厂加工一个圆柱形油罐，如图2，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点．若油罐底面圆的周长为12米，高AB为5米，那么梯子最短为多少米？图2图1解：图1是圆柱的侧面展开图(沿AB剪开)，连接AB，则AB即为梯子的长度．在Rt△ACB中，AC＝12米，BC＝5米，由勾股定理，得AB＝13米．勾股定理在实际生活中的应用勾股定理不仅在数学中应用广泛，在生产生活中也经常涉及，应用勾股定理解决实际问题时，可按以下步骤：(1)理解题意，构造直角三角形；(2)明确图中各边长的数量关系；(3)根据勾股定理写出适当的等量关系；(4)求解作答．随堂小练3．为了测量一个游泳池的宽度(如图3)，小明在点C和A、B两点分别设桩，使AB⊥BC，并量得AC＝52m，BC＝48m，20m则游泳池的宽度AB为__________．图34．如图4，A、B两船从某港口C分别沿东南与东北方向出发，速度分别为12海里/时与16海里/时，离开港口2小时后，两船相距多远？图4解：由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，AC＝12×2＝24，BC＝16×2＝32，∴AB2＝242＋322＝1600.∴AB＝40.求几何体表面的最短距离【例1】如图5，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只蚊子在这个长方体的顶点C1处．AB＝3cm，BC＝5cm，BB1＝6cm，问蜘蛛在侧面要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到蚊子？此时蜘蛛走过的路程是多少？图5【规律总结】在求最短距离时，如果不能直接求出，通常把立体图形转化为平面图形，然后在直角三角形中利用勾股定理求得．解：在长方体表面，蜘蛛经过的侧面不同，爬行的距离就不同．当蜘蛛在侧面A1ABB1和侧面B1BCC1上爬行时，最短距离为d＝5＋32＋62＝100＝10；当蜘蛛在侧面A1ABB1和上底A1B1C1D1上爬行时，最短距离为d＝6＋52＋32＝130；当蜘蛛在侧面A1ADD1和上底A1B1C1D1上爬行时，最短距离为d＝3＋62＋52＝106.∴蜘蛛爬行最短的路线是经过侧面A1ABB1和侧面B1BCC1，最短距离为10.勾股定理及其逆定理的应用【例2】有一块地，如图6，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．图6解：连接AC.∵∠ADC＝90°，∴△ADC为直角三角形．∴由勾股定理，得AC2＝CD2＋AD2＝32＋42＝25＝52.而AC2＋BC2＝25＋122＝132＝AB2，由勾股定理的逆定理知△ACB也为直角三角形．∴这块地的面积＝S△ABC－S△ACD＝12×12×5－12×3×4＝24(平方米)．思路点拨：这块地的面积＝S△ABC－SACD.