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1第三章函数的应用综合测试题(时间：120分钟分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中没有零点的是()A．f(x)＝log2x－3B．f(x)＝x－4C．f(x)＝1x－1D．f(x)＝x2＋2x答案：C解析：由于函数f(x)＝1x－1中，对任意自变量x的值，均有1x－1≠0，故该函数不存在零点．2．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为()A．(－2,0)B．(0,2)C．[－2,0]D．[0,2]答案：B解析：由题意，f(－1)·f(0)＝(m－2)m0，∴0m2.3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不确定答案：B解析：因为f(1.5)0，f(1.25)0，所以由零点存在性定理，可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．4．下表表示一球自一斜面滚下t秒内所行的距离s的呎数(注：呎是一种英制长度单位)．t012345s0104090160250当t＝2.5时，距离s为()A．45B．62.5C．70D．75答案：B解析：由题表可知，距离s同时间t的关系是s＝10t2，当t＝2.5时，s＝10×(2.5)2＝62.5.5．不论m为何值时，函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有()A．2个B．1个C．0个D．都有可能答案：A解析：方程x2－mx＋m－2＝0的判别式Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，∴函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有2个．26．已知f(x)＝2x2－2x，则在下列区间中，方程f(x)＝0一定有实数解的是()A．(－3，－2)B．(－1,0)C．(2,3)D．(4,5)答案：B解析：∵f(－1)＝2－12＞0，f(0)＝0－1＜0，∴在(－1,0)内方程f(x)＝0一定有实数解．7．设x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：C解析：∵f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－20，f(3)＝ln3－1lne－1＝0，f(2)·f(3)0.由零点存在定理，得x0所在的区间为(2,3)．故选C.8．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0答案：B解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f(x)在(1，＋∞)为增函数，又1x1x0x2，x0为f(x)的一个零点，所以f(x1)f(x0)＝0f(x2)．9．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．19B．20C．21D．22答案：C解析：操作次数为n时的浓度为910n＋1，由910n＋1＜10%，得n＋1＞－1lg910＝－12lg3－1≈21.8，∴n≥21.10．若函数y＝ax－x－a有两个零点，则a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．∅答案：A解析：令f(x)＝ax，g(x)＝x＋a，作出它们的图象如图所示．3显然当a＞1时，f(x)与g(x)的图象有两个交点，即函数y＝ax－x－a有两个零点．11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875，0.6253＝0.24414)()A．0.25B．0.375C．0.635D．0.825答案：C解析：令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)＜0，f(1)＞0，f(0.5)＜0，f(0.75)＞0，f(0.625)＜0，则方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内．∵0.75－0.625＝0.125＜0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．12．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为()答案：A解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D，再根据v1＜v2，可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图4示A分析正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是________．答案：2解析：当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，f(2)·f(3)0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.14．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为________．答案：－235，1解析：令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2＜0，∴要使f(x)在[1,5]上与x轴有交点，则需要f(1)≤0，f(5)≥0，即a－1≤0，23＋5a≥0，解得－235≤a≤1.15．若函数f(x)＝lg|x－1|－m有两个零点x1和x2，则x1＋x2＝________.答案：2解析：∵函数f(x)＝lg|x－1|－m有两个零点，∴函数y1＝lg|x－1|与函数y2＝m由两个交点，∵y1＝lg|x－1|的图象关于x＝1对称，lg|x1－1|＝lg|x2－1|，∴x1＋x2＝2.16．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据．x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝12x＋1.74.请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)答案：④5解析：画出散点图如图所示．由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上(对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋6，x≤0，x2－2x＋2，x0.(1)求不等式f(x)5的解集；(2)若方程f(x)－m22＝0有三个不同实数根，求实数m的取值范围．解：(1)当x≤0时，由x＋65，得－1x≤0；当x0时，由x2－2x＋25，得x3.综上所述，不等式的解集为(－1,0]∪(3，＋∞)．(2)方程f(x)－m22＝0有三个不同实数根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝m22的图象有三个不同的交点．由图可知，1m222，解得－2m－2或2m2.所以，实数m的取值范围(－2，－2)∪(2，2).18.(本小题满分12分)有一小型自来水厂，蓄水池中已有水450吨，水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池向居民小区供水，x小时内供水总量为8020x吨．现在开始向池中注水并同时向居民小区供水，问：(1)多少小时后蓄水池中的水量最少？6(2)如果蓄水池中存水量少于150吨时，就会出现供水紧张，那么有几个小时供水紧张？解：设x小时后蓄水池中的水量为y吨，则有y＝450＋80x－8020x＝450＋80x－1605x(x≥0)．(1)y＝16(5x－5)2＋50(x≥0)，则当5x＝5，即x＝5时，ymin＝50，∴5小时后蓄水池中水量最少为50吨．(2)由题意，450＋80x－1605x150，可得52x352，即54x454.∵454－54＝10，故有10小时供水紧张．19.(本小题满分12分)已知定义在R上的奇函数f(x)在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．(1)请补全函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的表达式(只写明结果，无需过程)；(3)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数(只写明结果，无需过程)．解：(1)补全f(x)的图象如图所示：(2)f(x)＝2x2－4x，x≥0，－2x2－4x，x0.(3)当a0时，方程无解；当a＝0时，方程有三个解；7当0a2时，方程有6个解；当a＝2时，方程有4个解；当a2时，方程有2个解．20.(本小题满分12分)某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2011年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝log12x＋a.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取11年和13年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b.若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f(x)＝log12x＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．由已知得a＋b＝4，3a＋b＝7，解得a＝32，b＝52，所以f(x)＝32x＋52，x∈N.(2)2015年预计年产量为f(7)＝32×7＋52＝13，2015年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.所以，2015年的实际产量为9.1万件．21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx，(k∈R)为偶函数．(1)求k的值；(2)若函数f(x)＝log4(a·2x－a)有且仅有一个根，求实数a的取值范围．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，∴log44x＋14x－log4(4x＋1)＝2kx，8∴(2k＋1)x＝0，∴k＝－12.(2)依题意知，log4(4x＋1)－12x＝log4(a·2x－a)，整理得log4(4x＋1)＝log4[(a·2x－a)2x]，∴4x＋1＝(a·2x－a)·2x.(*)令t＝2x，t0，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0.(**)只需其仅有一正根．①当a＝1时，t＝－1不合题意；②当(**)式有一正一负根时，∴Δ＝a2－4(1－a)0，t1t2＝11－a0，解得a＞1；③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，∴a＝±22－2，且a2(a－1)0，∴a＝－2－22.综上所述，a的取值范围为{a|a＞1或a＝－2－22}．22.(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)