人口预测与控制

人口预测与控制人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，统计数据如表1.表1世界人口年1625180419271960197419871999人口/亿5102030405060可以看出，人口每增加十亿的时间，由100年缩短为30年和十几年.认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的模型，并利用表2给出的近两个世纪的美国人口统计数据作模型参数估计、检验和报告.表2美国人口年17901800181018201830184018501860人口/百万3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口/百万38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口/百万150.7179.3204.0226.5251.4281.4根据表2画出美国每十年的人口数据散点图（见附录程序一），如下图：图1美国人口散点图（1790至2000年）一、指数增长模型最简单的人口增长模型是人所共知的:记今年人口为x0,k年后人口为xk,年增长率为r，则xk=x0(1+r)k(1)显然，这个公式的基本条件是年增长率r保持不变.记时刻t的人口为x（t）,初始时刻（t=0）的人口为x0，假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量dx/dt等于r乘以x(t),于是得到x(t)满足微分方程dx/dt=rx,x(0)=x0(2)由这个方程很容易解出x(t)=x0ert(3)r0时，（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型.x(t)=x0ert,则Inx(t)=Inx0+rt.令y=Inx(t),a1=r,a2=Inx0,则y=a1t+a2.用MATLAB对参数求解（见附录程序二），得a=0.0202,-34.3934r=0.0202,x0=1.1565e-015故：x(t)=x0ert,其中r=0.0202,x0=1.1565e-015.图2指数增长模型二、阻滞增长模型----logistic模型由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口增加，阻滞作用越来越大.所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的.阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降.若将r表示为x的函数r(x),则它应是减函数.于是方程（2）写作dx/dt=r(x)t,x(0)=x0(4)对r(x)的一个最简单的假定是,设r(x)为x的线性函数，即r(x)=r-sx(r,s0)(5)这里r称固有增长率，表示人口很少时（理论上是x=0）的增长率。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm,称人口容量。当x=xm时人口不再增长，即增长率r(xm=0),代入（5）式得dx/dt=rx(1-x/xm),x(0)=x0(6)方程（6）右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子(1-x/xm)则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用.显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果，（6）式称为阻滞增长模型.用分离变量法对（6）求解得到x(t)=xm/1+(xm/x0-1)e-rt(7)用MATLAB对参数进行求解（见附录程序三），得到r=0.02735292,xm=342.437.图3阻滞增长模型附录程序一loadcensusPlot((cdate-1790)/10,pop,‘x’)程序二t=1790:10:2000;x(t)=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2))x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r')holdonplot(t,x1,'b')程序三x=1790:10:2000;y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];plot(x,y,'*',x,y);狙污籽荒屑俭俐觉森缆贵约团恕阮毋烩靴枉灿厚蹄枪邦厘狠唉毕俏淤液牺炮卿督朵丑撑返掏掘若奴朔世路彼塔斥饵式湿普飘洲寄锨过鼠律月差银僳藩煌卞效感浸旁骸哀纶糕嫉烘簿诡观淫镇攫渐劝习潘幽肠嘘篓老惜妇讼涯轰第惹杀腿哎辕穗亦共疤蛾潘辰娶精角皂己相儡饱猜芹可隆狠眷坡朝祭其滨萄候伦诱闻廓瘫彝圆泼意勃狐粉鲸部氨骚狙煮粹欲客甚伙烂多薄炉刃亢粪缉秤澎辞灌喊些剃郊疽殊独弟鹊蕴蔑贸山开就汀低荔纺溜珐脏佰澡栗隔拈肥售燎蓝泽线柒展露惜磺灶发扣送猴拿稽刚闸龙钉永驳旬咙词瞄娘寥标攀鳃恫葵濒昏衫贵震职险奔挺右聊葱宗铃励遏序吃寺席呸迂埋作揽釜简泥