第三章直线与方程3.3两条直线的交点坐标两点间的距离

第三章§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.知识点一两条直线的交点坐标1.两条直线的交点已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A，B不同时为0).(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点PP(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点P在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是P方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解是x＝a，y＝b(2)两条直线的交点一般地，将两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0.若方程组有惟一解，则两条直线，此解就是交点的坐标;若方程组无解，则两条直线无公共点，此时;若方程组有无数解，则两条直线.因此可以通过方程组解的个数来判断两直线的位置关系！！！相交两条直线平行重合题型探究重点突破题型一两直线的交点问题例1已知l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0.（1）求两直线的交点；（2）求过两直线的交点和坐标原点的直线l的方程.∵直线过坐标原点，解方法一由方程组3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2，即l1与l2的交点坐标为(－2，2).故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.∴其斜率k＝2－2＝－1.2.过定点的直线系方程已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示的直线系，不包括直线l2.答案过点P题型探究重点突破题型一两直线的交点问题例1已知l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0.（1）求两直线的交点；（2）求过两直线的交点和坐标原点的直线l的方程.反思与感悟方法二∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.反思与感悟解析答案跟踪训练1求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.题型二直线过定点问题[例2]求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．[变式训练2]求证：直线(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0(λ∈R)一定经过第二象限．知识点二两点间的距离公式1.两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.2.两点间距离的特殊情况(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.(2)当P1P2⊥y轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝.(3)当P1P2⊥x轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝.答案|x2－x1||y2－y1|x2－x12＋y2－y12x2＋y2解析答案题型三两点间距离公式的应用例3已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状.反思与感悟△ABC是等腰直角三角形.解析答案跟踪训练3已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得x－32＋0－62＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).解析答案题型四坐标法的应用例4求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.又由中点坐标公式，得D(m2，n2)，E(c＋m2，n2)，证明如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.反思与感悟∴|DE|＝c＋m2－m2＝|c2|，∴|DE|＝12|AB|.反思与感悟利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算关系“翻译”成几何关系.解析答案跟踪训练4已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.∴|AC|＝b－02＋c－02＝b2＋c2，证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).|BD|＝a－b－a2＋c－02＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.题型五对称问题1.点关于点的对称问题例5：点(1,1)关于点(2,3)的对称点坐标是________(3,5)点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决！！！变式训练5点(1，y)关于(－1,0)的对称点坐标是(x,2)，则x＝______，y＝________.-3-2解析答案解后反思2：点关于线对称、线关于线对称的问题例6已知直线l：y＝3x＋3，求(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程．(-2,7)7x+y+22=0点关于线的对称问题：1.两点连线与直线l垂直，2.两点中点在直线l上。即可解决！！！线关于线的对称问题：1.先在直线l上任找两个点2.算出任两个点关于直线l对称的点。即可解决！！！数形结合思想数学思想例7已知两点A(2，3)，B(4，1)，直线l：x＋2y－2＝0，在直线l上求一点P，(1)使|PA|＋|PB|最小；(2)使|PA|－|PB|最大.解析答案解后反思变式训练7已知两点A（3,0），B（0,2），直线l：x-y+1=0,在直线l上求一点P，(1)使|PA|＋|PB|最小；(2)使|PA|－|PB|最大.)253,2556(PP(8，－3))58,53(P)34,31(P解析答案解后反思返回利用函数的几何意义求最值解题技巧例8例5已知函数y＝x2＋1＋x2－4x＋8，求函数的最小值.转换成点到点的距离之和即可解决问题！！！13当堂检测12345解析答案1.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是()A.2x＋y－8＝0B.2x－y－8＝0C.2x＋y＋8＝0D.2x－y＋8＝0∴交点坐标为(1，6).由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.A解析联立2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0，解得x＝1，y＝6.解析答案2.直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为()A.1B.－1C.2D.－2B∴交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0，解得a＝－1.12345解析联立4x＋3y＝10，2x－y＝10，解得x＝4，y＝－2.12345解析答案3.两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为()A.－24B.6C.±6D.以上答案均不对C解析直线2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为m3，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为12m.∵两直线的交点在y轴上，∴12m＝m3，解得m＝±6.解析答案4.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为()A.32B.23C.－32D.－231234512345解析答案5.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝_____.解析设A(x，0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴x2＝2，y2＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，∴|AB|＝42＋22＝25.25课堂小结1.方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0有惟一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.返回