第三章矩阵的标准型

教学目的理解矩阵的定义及不变因子掌握用初等变换的方法化矩阵为Smith标准形理解行列因子、初等因子及相关理论掌握求矩阵的Jordan标准形的方法了解Cayley-Hamilton定理第三章矩阵与矩阵的Jordan标准形（-matrixandJordanCanonicalForm）标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！预备知识：若存在多项式h()，使得f()=d()h()，称d()整除f()，用d()|f()表示；设f()与g()为数域P上的两个一元多项式，若存在d()满足d()|f()，d()|g()，称d()为f()与g()的公因式；若f()与g()的任一公因式都是d()的因式；称d()为f()与g()的最大公因式，并用（f()，g()）表示f()与g()的首项系数为1的最大公因式.§2矩阵及其在相抵下的标准型由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也大了。定义1元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij()是数域P上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数，数域P上全体mn的-矩阵记为P[]mn.注：数字矩阵是-矩阵的特例。数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。1.矩阵的基本概念矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算有相同的运算定律。数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质相同。n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足|A()B()|=|A()||B()|定义2设A()P[]mn，如果A()中有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为rank(A())=r数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是满秩的。矩阵的秩定义3设A()P[]mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得A()B()=B()A()=I则称A()可逆，B()为A()的逆矩阵记作A()-1。定理1设A()P[]mn，A()可逆的充要条件是|A()|是非零常数。矩阵的逆矩阵的初等变换定义4初等变换(1)对换两行（列）；(2)某行（列）乘上非零的常数k；(3)某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵;(2)初等矩阵都是可逆的：P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j())-1=P(i,j(-))相抵（等价）定义5设A(),B()P[]mn，若A()经有限次行、列初等变换化为B(),称A()与B()相抵（等价），记为A()B()定理2设A(),B()P[]mn，A()与B()相抵的充要条件是存在m阶初等矩阵P1(),P2(),…Pl(),与n阶初等矩阵Q1(),Q2(),…Qt(),，使得A()=Pl()…P1()B()Q1()Q2()…Qt()3.矩阵在相抵下的标准型定义6该标准型称为A()在相抵下的标准型或Smith标准型；称smith标准型“主对角线”上非零元d1(),d2(),dr()为A()的不变因子定理对任意一个秩为r的mn阶-阵A()，都相抵于一个标准型di()为首项系数为1的多项式，且di()|di+1()00021)()()()(rdddA例1求矩阵的Smith标准形222211121)(A解题思路：经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有的元素。22322212122213121222211322213122220000100001000010012111012111121],[)]([)]([)]([)]([)]([()(A解:313323322322120000001000000100000100001)]([)]([)]([)]([)(1d)(2d)(3d不变因子：将其化成Smith标准形。例22)1()1()(A解：1)2()1()1()1()1()1()(3232)2(22rrccA22)2(323)1()1(11)1()1(1)2(02)1(2323ccrr§3矩阵的行列式因子和初等因子定义1设A()P[]mn，且rank(A())=r，对于正整数k(1≤k≤r),A()中的全部k阶子式的最大公因式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().定理1相抵的矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子例1求矩阵的各阶行列式因子。2)1()1()(A解由于((+1)2,)=1,所以D1()=1)1()()()1()1(00)1()()1()1(00),()1(00)1(233222212D故最后D3()=det(A())=2(+1)3行列式因子和不变因子的关系设矩阵A()的Smith标准形为001)()(rdd其中di()(i=1,2…r)是首项系数是1的不变因子，则A()的各阶行列式因子如下：)()()()()()()()()(rrdddDddDdD2121211于是Di()|Di+1()，(i=1,2,…r-1)di+1()=Di+1()/Di(),(i=1,2,…r-1)定理2矩阵A()的Smith标准型唯一。定理3设A(),B()P[]mn，A()与B()相抵的充要条件是它们有相同的行列式因子，或它们有相同的不变因子。例2求下列矩阵的行列式因子和不变因子一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂，但对一些特殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。mmiiiA111)(其中i是数域P中的常数。解由于A()的一个m-1阶子式故Dm-1()=1,根据行列式因子的依次整除性，有D1()=D2()=…=Dm-2()=1而Dm()=(-i)m，因此A()的不变因子为d1()=d2()=…=dm-1()=1,dm()=(-i)m1)1(111mii设矩阵A()的不变因子为d1(),d2(),…dr()，在复数域内将它们分解成一次因式的乘积rsrrsseseereseeeseeddd)()()()()()()()()()()()(21222211121121212211其中，1…s是互异的复数，eij是非负整数，满足rsssrreeeeeeeee212221212111000初等因子定义2在不变因子的分解式中，所有指数大于0的因子sjrieijejij,...2,1,,...1,0,)(称为矩阵A()的初等因子。注：在A()的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确定例3如果矩阵A()的不变因子为2,,,1,2323(1),(1),(1),(1),(2)则A()的初等因子为)2()1()1()()1()1()(),1()(,1)(332422321dddd,,2,-1,(-1)2,(-1)3,(+1)2,(+1)3,-2反过来，如果知道了A()的秩和初等因子，因为A()的秩确定了不变因子的个数，则同一个一次因式的方幂做成的初等因子中，方次最高的必在dr()的分解中，方次次高的必在dr-1()的分解中，如此顺推，可知属于同一一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定。例如如果A()的秩为4，且其初等因子为则A()的不变因子依次为d4()=2(-1)3(-i)3(+i)3d3()=(-1)2,d2()=(-1),d1()=1,,2,-1,(-1)2,(-1)3,(-i)2,(+i)3定理7设矩阵为块对角形矩阵，则B()与C()的初等因子的全体是A()的全部初等因子。该定理可以推广到n个分块的情形定理6设A(),B()P[]mn，A()与B()相抵的充要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子。)()()(CBA例4求22000000()00(1)10022A的Smith标准型解记那么21223(),()(1)1()22AAA)()()()(321AAAA因为A1()的初等因子为,+1;A2()的初等因子为,A3()的初等因子为,-1,+1；由上面的定理可知A()的初等因子为所以A()的不变因子为,,,-1,+1,+1d4()=(-1)(+1),d3()=(+1)d2()=,d1()=1因此A()的Smith标准形为)1)(1(0000)1(000000001)(A§4矩阵相似的条件.定理1数字方阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E-A与E-B相抵。定义1n阶数字方阵A的特征矩阵E-A的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为矩阵A的行列式因子，不变因子和初等因子。§4矩阵相似的条件.定理2n阶数字方阵A与B相似的充分必要条件是他们满足如下条件之一：（1）它们有相同的行列式因子，（2）它们有相同的不变因子,（3