解决隐形圆问题-2019年高考数学二轮复习核心考点微专题

1.如果圆(x－2a)2＋(y－3a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________．【答案】－65a0.【解析】原问题可转化为：圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4和圆x2＋y2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d＝(2a－0)2＋(a＋3－0)2＝5a2＋6a＋9，由两圆相交可得2－15a2＋6a＋9＜2＋1，解得－65a0.2.在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围是________．【答案】[6－2，6＋2]．又BC2＝4(4－OP2)，OP∈6－22，6＋22，则BC∈[42－3，42＋3]＝[6－2，6＋2]．法二：设BC的中点为M(x，y)，因为OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，有4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得x－122＋(y－12)2＝32，所以点M的轨迹是以12，12为圆心，322为半径的圆，所以AM的取值范围是6－22，6＋22，所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]．变式1在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．【答案】[－52，1]变式2已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|PA→＋PB→|的取值范围为________．【答案】[7,13]．【解析】将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关，故问题可转化为圆C1：x2＋y2＝1与C′2：(x－5)2＋y2＝1中相应问题，这样易于解决．如图，当AB⊥x轴，且AB与点P位于较近一侧时，|＋|取得最小值，此时，|＋|＝2×(5－32)＝7.同理，求得|＋|max＝2×5＋32＝13.所以|＋|的取值范围为[7,13]．（二）圆相关的定点定值问题的解法研究例2.过A(4,0)的直线l交抛物线D：y2＝4x于M、N两点．是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．【答案】直线m：x＝3变式1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线y＝t(0t8)与线段AF1，AF2分别交于点P、Q过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C.(1)求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上；(2)圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）413，3213.【解析】(1)法一：易得直线AF1：y＝2x＋8；AF2：y＝－2x＋8，所以可得Pt－82，t，Q8－t2，t，再由QR∥AF1，得R(4－t,0)，则线段F1R的中垂线方程为x＝－t2，线段PF1的中垂线方程为y＝－12x＋5t－168，由y＝－12x＋5t－168x＝－t2得△PRF1的外接圆的圆心坐标为－t2，7t8－2，经验证，该圆心在定直线7x＋4y＋8＝0上．3．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．【答案】32.4．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足AQ→＝23AP→＋13AC→，则BQ的最小值是________．【答案】7－23.【解析】以点A为坐标原点，AB为x轴正半轴，使得C落在第一象限，建立平面直角坐标系设P(cosα，sinα)，则由＝23＋13，得：Q(23cosα＋12，23sinα＋32)故点Q的轨迹是D12，32为圆心，23为半径的圆，又BD＝7，所以BQ的最小值是7－23.1．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋2)2＋(y－m)2＝3.若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，则实m的取值范围是________．【答案】－2≤m≤2【解析】由于圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，故OA⊥OB，如图所示，过点O作圆C的两条切线，切点分别为B，D，圆上要存在满足题意的点A，只需∠BOD≥90°，即∠BOC≥45°，连接BC，由C(－2，m)可得：OC＝m2＋4，BC＝3，由sin∠BOC＝CBOC，所以3m2＋4≥22即－2≤m≤22．已知以曲线y＝2x任意点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点，则△AOB的面积为________．【答案】43．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．【答案】3.【解析】依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知PC的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形PACB的面积等于2S△PAC＝2×(12PA·AC)＝PA·AC＝PA＝PC2－1，因此四边形PACB的面积的最小值是22－1＝3.8.已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3,0)，且与圆O相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交与P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q.求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）y＝±24(x－3)．（2）(3±22，0)．【解析】(1)因为直线l1过点A(3,0)，且与圆O：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d＝|3k|k2＋1＝1，解得k＝±24，所以直线l1的方程为y＝±24(x－3)．(2)对于圆方程x2＋y2＝1，令y＝0，得x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)，又直线l2过点A且与x轴垂直，所以直线l2方程为x＝3，设M(s，t)，则直线PM方程为y＝ts＋1(x＋1)．解方程组x＝3y＝ts＋1(x＋1)，得P′3，4ts＋1同理可得，Q′3，2ts－1.所以以P′Q′为直径的圆C的方程为(x－3)(x－3)＋y－4ts＋1y－2ts－1＝0，又s2＋t2＝1，所以整理得x2＋y2－6x＋1＋6s－2ty＝0，若圆C经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±22，所以，圆C总经过定点坐标为(3±22，0)．9.已知过点A(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．求证：AM→·AN→是定值；【答案】710.直线2ax＋by＝3与圆x2＋y2＝1相交于A、B(其中a、b为实数)，且∠AOB＝π3(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(1,0)之间距离的最大值为________．【答案】2【解析】由已知得△AOB是等边三角形，则原点O到直线2ax＋by＝3的距离为32，故32a2＋b2＝32，化简得2a2＋b2＝4(－2≤a≤2)，点P(a，b)与点(1,0)之间距离d＝(a－1)2＋b2＝－a2－2a＋3≤2，故最大值为2.11.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积最大值为16，则实数m的取值范围为________．【答案】－27m－327.【解析】圆的标准方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32，则圆心C(m,2)，半径r＝42，S＝12r2sin∠ACB＝16sin∠ACB，当∠ACB＝90°时S取最大值16，此时△ABC为等腰直角三角形，AB＝2r＝8，则C到AB距离＝4，所以4≤PC42，即4≤(m－3)2＋2242，所以16≤(m－3)2＋2232，即12≤(m－3)228，解得3＋23≤m3＋27或3－27m≤3－23，因为点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，所以PC＝(m－3)2＋2242，即(m－3)228，即－27m－327.12.动直线y＝k(x－2)与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，k的值为________．【答案】－33.【解析】