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激光原理与技术西安电子科技大学技术物理学院刘继芳§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析¾研究方法采用波动光学理论光的衍射概念和计算开腔的典型代表：对称共焦腔¾采用腔型•R1=LR2=LFL一、对称共焦腔及其意义实共焦腔：0,021RRLRR=+2221LRR==210,0,02121===gggg两腔镜焦点重合且在腔内对称共焦腔：临界腔！意义：z无几何偏折损耗！(衍射损耗仍存在)z惟一可以给出自再现模解析解的腔型z其他腔型模的解可等效为共焦腔处理•FL§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析二、FoxandLi开腔模概念(1961)平面光波在平行平面腔中的来回反射，不计几何偏折损耗(大NF腔)时，等价于通过周期分布“孔拦”的传输。用迭代数值方法计算证实：自再现模存在。(3000次以后不再发生变化)开腔中的自再现模场分布=衍射为零时的自洽场分布等价LLLu1u2u3uquq+1…qquuσ=+1σ复常数§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析三、自再现模的本征方程(对称腔)1.求自再现模本征方程的物理基础——菲涅耳—基尔霍夫方程已知衍射屏xOy上场分布u(x,y)，根据惠更斯—菲涅耳原理：子波强度2cos1θ+r：pp′两点间距，球面波倾斜因子••p′rpθxyx′y′zyxreyxuyxuSkrdd2cos1),(i),(i∫∫+=′′′−θλθ：r与腔轴之间夹角倾斜因子，§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析2.再现模本征方程若谐振腔满足：zLa，aλ，有：12cos1≈+θ1cos≈θz自洽条件：),(),(yxuyxuσ=′′′只有对称共焦腔：当xOy面在M1处，当x′O′y′面在M2处满足！则有：yxLeyxuyxuSkrdd),(i),(i∫∫−=′′′λyxyxyxKyxuyxuSdd),;,(),(),(∫∫′′=′′σy′•x′zFLxy§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析分析如下：z这是关于u的积分方程，→求解：u(x,y)[u′(x′,y′)]横向场分布的本征方程。z其解u为本征函数(横模)，σ为本征值。积分方程理论：(1)对称核：本征函数一定是正交归一函数系腔内任意场分布=Σti本征函数i(2)复核：本征函数、本征值一定是复值z本征方程积分核，为复对称核。腔结构对称，积分核对称！krLyxyxKiei),;,(−=′′λz本征函数u正交归一化的函数系，加下标：u→um。um对应本征值σ→σm§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析因此：z本征方程可改写为：zum和σm为复数，故有：可见：σm对本征模在腔内渡越时产生两方面影响：(1)⎪σm⎪→引起振幅变化：损耗(2)→产生一个附加相移z∵z自再现模平均单程损耗因子：L2,1,0dd),;,(),(),(=′′=′′∫∫myxyxyxKyxuyxuSmmmσ),(ie),(),(yxmmmyxuyxuϕ=σϕσσmmmie=意义？mmumσϕσie=σϕmie不同横模损耗不同！mmuuσ=′22221mmmmDuuuσδ−=′−=§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析z自再现模腔内单程渡越相移：z对称共焦腔的驻波条件(频率条件)：可见：对于横模指数为m的横模，可以有不同的振荡频率！记为TEMm(n)q模)arg()arg(uum−′=Φδ)arg(mσ=σϕm=mmLkϕΔ+−=mmmLkϕΦδΔ+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=πΔ2mmqLcϕν⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ckmmνπ2几何相移附加相移纵模指数横模指数πq−=§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析四、对称共焦腔自再现模在镜面上场分布1.自再现模本征方程解已知M1面(球面)上场分布u，求M2面上场分布！相应间距：由ΔOO′P和ΔOO′P′：krLyxyxKiei),;,(−=′′λr—关键共焦腔昀简单任意腔可等效为共焦腔11PPr′=21ΔΔ−−′=PP)()(22222yxLL′+′+=+Δ)()(22221yxLL++=+ΔLyx2221+=ΔLyx2222′+′=Δx′zLxPP′P11P′Δ1Δ2OO′—§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析可求得r：Lyx2221+=ΔLyx2222′+′=Δ212/1222])()[(ΔΔ−−+′−+′−=Lyyxxr212/12222)()(1ΔΔ−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡′−+′−+=LyyLxxL212222)()(1ΔΔ−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡′−+′−+≈LyyxxL21222222ΔΔ−−′+′−′+′+++=LyyxxLyxLyxLLyyxxL′+′−=代入本征方程有：yxyxuLyxuSLyyxxkmkLmmdde),(ei),(ii∫∫′+′−=′′λσ§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析本征方程也可改写为：yxyxuLyxuSyfxfmkLmmyxdde),(ei),()(π2ii∫∫+−=′′λσLyfLxfyxλλ′=′=,其中：),(),(yxuyxumm′′⇔可见：构成傅里叶变换对物场与频谱场分布自洽{}),(FT),(yxucyxummm=′′σ②若S有限大——本征方程可精确求解；若S很大——本征方程需近似求解。①若um(x′,y′)可分离变量→求解大为简化)()(),(),(yuxuyxuyxunmmnm′′=′′=′′nmmnmσσσσ==§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析③实际上，S的大小并不由腔镜镜面尺寸决定，很多情况下是由腔内增益介质横截面尺寸决定(尺寸很小)方形——直角坐标系下分离变量④腔镜横截面(介质横截面)形状不同，分离变量方法不同。)()(),(yuxuyxunmmn=圆形——极坐标系下分离变量2.方镜共焦腔镜面上场分布—厄米高斯函数直角坐标系下分离变量2a2axy腔镜反射面在xOy面投影腔镜反射面形状§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析分离变量后的本征方程：∫∫−′−′−−=′′aaLyyLxxknmkLnmnmyxyuxuLkyuxudde)()(π2ie)()()(iiσσaNyYaNxX/π2,/π2==LaLkaNλ22)π2/(==∫∫−′+′−=′′NNYYXXnmkLnmnmYXYUXUYUXUπ2π2)(iidde)()(π2ie)()(σσ令：菲涅耳数有：令：kLnmnmiie/−=σσεε∫−′=′NNXXmmmXXUXUπ2π2ide)(π21)(ε∫−′=′NNYYnnnYYUYUπ2π2ide)(π21)(ε则：§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析当N较大时，积分方程有如下解(用近似解代替精确解)：其中：Hm、Hn为厄米多项式：整数部分)(He)(22XXUmXm−=)(He)(22YYUnYn−=1)(H0=ξξξ2)(H1=24)(H22−=ξξξξξ128)(H33−=124816)(H244+−=ξξξ∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−−=202)2()!2(!!)1(mkkmkkmkmξ22mm⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡22edde)1()(Hmξξξξ−⋅−=mmm§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析镜面上场分布：镜面上场分布为厄米高斯函数(分布)！相应光束称为厄米高斯光束NaxXπ222222⋅=π0Lwsλ=s02wxX=s02wyY=2s022e2H2H),(s0s0wyxnmmnwxwxCyxu+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=]2π)1([ie++−−=nmkLmnσ由：其中：得：m=0，1，2…n=0，1，2…Laaxλ222π22⋅=2πxLλ=2s02wx=§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析得镜面上场分布：镜面上场分布为拉盖尔高斯函数(分布)！相应光束称为拉盖尔高斯光束]2π)12([ie++−−=nmkLmnσ取极坐标系(ρ，ψ，z)分离变量其中：，为缔合拉盖尔多项式m=0，1，2…n=0，1，2…3.圆镜共焦腔镜面上场分布—拉盖尔高斯函数)()(),(ρψψρnmmnuuu=ψρρρψρmwmnmnmnwwCui20s2s0ee2L2),(2s02−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′=π0Lwsλ=)(ξmnL§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析均为纯虚数！σmn描述损耗，说明衍射损耗等于零！相当于菲涅耳数NF→∞，亦即镜面尺寸a→∞的结果。]2π)12([ie++−−=nmkLmnσ缔合拉盖尔多项式：(1)方：圆：综合(方和圆)讨论：1)(L0=ξmξξ−+=mm1)(L1])2(2)2)(1[(21)(L22ξξξ++−++=mmmmL2,1,0)!(!)!()()!()(L0=−+−+=∑=nknkkmmnnkkmnξξ]2π)1([ie++−−=nmkLmnσ§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析(2)镜面上场分布相位与x，y无关。——镜面是本征模场分布的等相面！(3)用TEMmnq表示本征模。m—xψ方向场零点数目n—yρ方向场零点数目q—z方向半波长数目m,n—横模指数q—纵模指数(4)m=0，n=0的本征模称为基模，记为TEM00。20s22e),(0000wyxCyxu+−=20s2e),(0000wCuρψρ−′=方：圆：z损耗昀低，起振容易。称为优势振荡模z振幅分布为高斯函数——基模高斯光束z当或时，振幅减小为中心的20s22wyx=+20s2w=ρe1z圆形光斑，中心昀亮，向外逐渐减弱。w0s称为光斑半径§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析(5)镜面光斑图样TEM00模m=0，n=020s22e),(0000wyxCyxu+−=20s2e),(0000wCuρψρ−′=方：圆：xyρψxyρ2s0222wyx==+ρe/)0,0(),(0000uyxu=πs0Lwλ=镜面上00模光斑半径§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析TEM10模m=1，n=020s22e),(1010wyxxCyxu+−=ψρψρρcose),(20s21010wCu−′=方：圆：ρψx方向：1根零线y方向：无零线ψ方向：1根零线ρ方向：无零线yx§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析TEM01模m=0，n=120s22e),(0101wyxyCyxu+−=20s2e)21(),(20s20101wwCuρρψρ−−′=方：圆：x方向：无零线y方向：1根零线ψ方向：无零线ρ方向：1根零线yx与TEM10模相同ρψ与TEM10模不同§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析(6)共振(纵模)频率方：圆：纵模频率间隔：]2π)12([ie++−−=nmkLmnσ]2π)1([ie++−−=nmkLmnσ]2π)1([++−−=nmkLmnΦδ]2π)12([++−−=nmkLmnΦδckνπ2=πqmn−=Φδπ]2π)1([qnmkL−=++−−π]2π)12([qnmkL−=++−−]2/)1([2+++=nmqLcmnqν]2/)12([2+++=nmqLcmnqνLcqqq2Δ1=−=+ννν共振(驻波)条件：§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析五、腔内(外)行波场我们得到了对称共焦腔镜面上的场分布。实际上，上述光波场在腔内(外)是传播的！腔内(外)任一参考面上的光波场？由镜面上的场分布+菲涅耳—基尔霍夫积分求出任意z面上的场分布，即为行波场。zLRPumn(x,y)umn(x,y,z)TEMmn：m→x，ψn→y，ρ§2.3对称共焦腔的自再现模行波场——开腔模场分布的波动光学分析1.方型镜基模：