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激光原理与技术西安电子科技大学技术物理学院刘继芳§2.5高斯光束的传输和变换一、高斯光束的传输规律(TEM00)zfzzR2)(+=2/1201)(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=fzwzw依据：共焦参数λ20eπwf=)(πi)(1)(~12zwzRzqλ−=等相面曲率半径的变化光斑半径的变化复曲率的变化§2.5高斯光束的传输和变换1.发散角θ00前面已经讨论过远场发散角，其定义为：实际上，发散角是变化的，应为θ00(z)即：∞→∞→=≡zzzzwzzwd)(d2)(lim2200θ∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=zfzzw2/12e01dd2∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+′⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=zfzfzw2/12e2e0001122θ∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=zfzfzw2/12e2e01120π2wλ=e02fw=§2.5高斯光束的传输和变换实际发散角：¾z=0，等相面为平面，平面波，θ00(0)=0故：应用中定义2fe为瑞利距离，认为在此距离内光束是准直的！¾z=fe，等相面为球面，球面波，θ00(fe)=θ00/2¾z=∞，等相面为平面，平面波，θ00(∞)=θ00因为在此距离内，θ00(z)θ00由可见，w0↑，2fe↓λ20eπ22wf=问题试证明：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=−−1222/1220)(π)(1)()()(π1)(zwzRzRzzRzwzwwλλ2200)()()(π22⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=zRzwzwλθ§2.5高斯光束的传输和变换则：2.高斯光束复曲率参数的ABCD定律q~zR1R2L•ORPz1z2123456)(πi)(1~12zwzRqλ−=221i2~1⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−−=DABBADqBADzR2)(1−=ADBzR−=2)(22211)(π⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=DABzwλ22211π)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=DABzwλ为求z处，参考面选在该处，如图：q~又：比较：)1)(2)(3)(4)(5)(6(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBAz§2.5高斯光束的传输和变换z=0，R(0)=∞腔内规律：)(πi)(1~12zwzRqλ−=ADBzR−=2)(考察z=0处，即束腰处。z—RP到束腰w0的距离，决定ABCDDA=⎩⎨⎧−=121zLzz)0(220==zwwRP⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA0~)0(~qq=2211π⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=DABλλ20πiw−=eif=§2.5高斯光束的传输和变换变换矩阵为：3.高斯光束自由空间传输由z=0处传输到z处：所以：)(~zqzORPw0w(z)R(z)0~q⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101zDCBADqCBqAzq++=00~~)(~zq+=0~zf+=ei问题：由此出发证明zfzq+=ei1)(~1zfzzR2)(+=2/1201)(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=fzwzw证明§2.5高斯光束的传输和变换总功率：4.能量传输孔径——空间滤波z处场分布：通过半径a的光栏功率：当：当孔径直径d=2a=3w(z)时，高斯光束完全通过！这就是选模空d=3w(z)的物理依据！)(0022e)(1π2)(zwrzwru−=20000)()(rurI=ψdd)(π2000000rrrIP∫∫∞=ψdd)()(π2000000rrrIaPa∫∫=)(222e1zwa−−=)(zwa=%86)(0000=PaP当：)(5.1zwa=%99)(0000=PaP)(2222e)(1π2zwrzw−=∫∞−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=022)(2)(2de22zwrzwr1=∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−azwrzwr022)(2)(2de22§2.5高斯光束的传输和变换二、高斯光束的变换问题如图：(1)法1：参考面选在变换前后的腰处1.经薄透镜的变换zw0zz′w0′RP1RP2)1)(2)(3(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−′−′+′−=FzFFzzzzFz111DqCBqAq++=′000~~~(1)高斯光束→高斯光束(焦距F)(2)w0，z→w0′，z′？⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡′=1011101101zFz⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′++⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−=FzqFFzzzzqFz1~1~100§2.5高斯光束的传输和变换整理得：⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′++⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+′−FzzzzqFzqFzFqq000~1~1~~注意到、为纯虚数，为实数，令上式实部虚部分别相等0~q′0~q00~~qq′⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′+=′−FzzzzFqq00~~⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−=′FzFzqq11~~00e0i~fq=e0i~fq′=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′+=′FzzzzFffee⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−=′FzFzff11ee应用：得到变换前后光束共焦参数满足的方程：——(1)——(2)§2.5高斯光束的传输和变换(1)×fe′得：解之得：得到变换前后束腰间的关系：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−=′FzFzfff112eee⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−FzzzzFFzFzf112e⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−=FzFFFzzF11)(12FzFzFF−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−+=22e1F11⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−FzfFzFz22eee20201F1⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′=′Fzfffww(3)代入(2)得：——(3)§2.5高斯光束的传输和变换(2)法2：参考面选透镜两侧：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101FDCBAzw0zz′w0′RP1RP2DqCBqAq++=112~~~BqADqCq++=112~~~111~1~1qqF+−=Fq1~11−=FzwzRzwzR1)(π1i)(1)(π1i)(1212222−−=′−′⎪⎩⎪⎨⎧=′−=′)()(1)(1)(11222zwzwFzRzR变换矩阵为：由：得：即：实部虚部分别相等得：等相面曲率变化！光斑尺寸不变！§2.5高斯光束的传输和变换再应用高斯光束传播变换：(3)讨论：i.得：腰离开焦点很远！则有：几何成像关系！zqq+=01~~zqq′−′=02~~Fzqzq1~1~100−−=′−′2e2⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−FfFzq2e2)(fzF−112=′+′−−FzzFzFzFzz111=′+FzFzz−=′FzFz−=′−111整理得：Fzww−=′100zzw′=0zwzw′=′00FzFw−=0§2.5高斯光束的传输和变换ii.z=F01=′−FzFz=′22e202011⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′FzFfww22e111⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′−FzFfFzFze00fFww=′iii.z=01112e+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′−FfFz1112e+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′FfFz22e2eFff+=22e202011⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′FzFfww2e00)/(1Ffww+=′2e20fFFw+=λ/π200wFw=0πwFλ=§2.5高斯光束的传输和变换小结：(1)fe/F→0，几何光学关系-4-202468-4-202468z′/Fz/Ffe/F=0(fe/F)2=0.1(fe/F)2=0.01(2)高斯光学关系Fzz==′Fzz111=′+(3)高斯光学到几何光学过渡22e111⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′−FzFfFzFz(fe/F)2取值不同，z′、z之间有不同关系曲线§2.5高斯光束的传输和变换三、高斯光束的聚焦和准直问题有两种提法：(1)F一定，z=？(2)z一定，F=？由1.聚焦zw0zz′w0′RP1RP2目的：w0′w022e202011⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′FzFfww2/122e001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′FzFfww22eee1⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′FzFfffλ20eπwf=λ20eπwf′=′(1)fe小，景深小(2)fe大，景深大fe与w0变化规律类似，可见聚焦以损失景深(准直距离)为代价！§2.5高斯光束的传输和变换短焦距F的透镜，总可以满足上述条件如：(1)只要Ffe(fe/F1)，总有w0′w02/122e001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′FzFfwwmm0.10=wm14.3e=f(3)若z=F，z′=F(4)zF，z′F，nm1000=λ(2)若zF，取z=0，z′/F1，w0′在F内。2e00)/(1Ffww+=′2e20fFFw+=0w0e0wfFw=′0w2e200)/()/1(FfFzww+−=′2e20fzFw+≈0w§2.5高斯光束的传输和变换当f#=1，为理想聚焦！取D=3w(z)2e200)/()/1(FfFzww+−=′2e20fzFw+≈012345012345w0′/w0zfe/F=0fe/F=0.1fe/F=0.5fe/F=1fe/F=102ee011⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=fzfFw)(1π0zwwF⋅=λλ20eπwf=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2e2021)(fzwzw#fDF⋅=⋅≈λλλ≈DwFw3π00⋅=′λ§2.5高斯光束的传输和变换与聚焦相反，使远场发散角减小，2θ′02θ0；使共焦参数增大，即w′0w0。准直是指是扩束！方法：先聚焦，再准直。系统由两个透镜组成。且F1很小，F2大2.准直zw0zz′w0′w0′′z′′F1F2F2条件：zF1，w′0位于F2的焦平面。w(z)§2.5高斯光束的传输和变换聚焦：¾当z=0时，w(z)=w0，M=M00w′2e201fzwF+≈)(1π1zwF⋅=λ扩束：e200fFww′′=′′02πwF′=λ)(ππ12zwFFλλ=)(12zwFF=00000022wwM′′=′′=θθ012)(wzwFF⋅=00)(wzwM=准直倍率：λ20eπwf′=′()2e0/1)(fzwzw+=()2ee01/11fzfwF+=λ20eπwf=()2e01/11πfzwF+=λ¾当z0时，w(z)w0，MM0§2.5高斯光束的传输和变换对于基模高斯光束：¾w——光束远场特性，θ——光束远场特性对高阶模：所以：四、高斯光束衍射倍率因子M2000π22wλθ=π22000λθ=w012wmwm+=012wnwn+=012θθ+=mm012θθ+=nn00)12(θθwmwmm+=π2)12(λ+=m00)12(θθwnwnn+=π2)12(λ+=n00)12(θθwnmwmnmn++=π2)12(λ++=nm为常数！拉盖尔高斯光束厄米高斯光束§2.5高斯光束的传输和变换定义：意义：对理想光束(理论值)：基模：描述光束偏离基模高斯光束的程度！拉盖尔高斯光束厄米高斯光束)(2)(200002理论值理想基模高斯光束测量值实际光束θθwwM′′=12=M)12(2+=mMx)12(2+=nMy)12(2++=nmMρΩνΔΔSPB=()4/)2(πΔπΔ12222θΩ==∝wSM高阶模：w、θ实际测量值因为M2愈小，Bν愈大，光束空间相干性愈好！