高中数学思维训练2

高中数学思维训练(二)例2若.2,0))((4)(2zxyzyyxxz证明：思路分析此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明当0yx时，等式0))((4)(2zyyxxz可看作是关于t的一元二次方程0)()()(2zytxztyx有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1，根据韦达定理就有：1yxzy即zxy2若0yx，由已知条件易得,0xz即zyx,显然也有zxy2.例3已知cba、、均为正实数,满足关系式222cba,又n为不小于3的自然数，求证:.nnncba思路分析由条件222cba联想到勾股定理,cba、、可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明设cba、、所对的角分别为A、B、.C则C是直角，A为锐角，于是,cos,sincbAcaA且,1cos0,1sin0AA当3n时，有AAAAnn22coscos,sinsin于是有1cossincossin22AAAAnn即,1)()(nncbca从而就有.nnncba思维阻碍由于这是一个关于自然数n的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。（1）问题转化的训练我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。○1转化成容易解决的明显题目例11已知,1111cbacba求证a、b、c中至少有一个等于1。思路分析结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a、b、c中至少有一个为1，也就是说111cba、、中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。证明.,1111abcabacbccba于是.0)()1()1)(1)(1(cbabcacababccba111cba、、中至少有一个为零，即a、b、c中至少有一个为1。思维障碍很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。