讲义基本不等式

第3讲基本不等式1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24．(简记：和定积最大)[做一做]1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．2141．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．2．活用几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．考点一__利用基本不等式证明不等式__________[规律方法]利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．“a0且b0”是“a＋b2≥ab”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A2．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．5已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.在本例条件下，求证1a＋1b≥4.1.设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.考点二__利用基本不等式求最值(高频考点)______利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)求参数的值或范围．[规律方法]利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值(1)当0x12时，函数y＝12x(1－2x)的最大值为________．(2)(2014·高考重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋43(3)(2015·吉林长春调研)若两个正实数x，y满足2x＋1y＝1，并且x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2，4)D．(－4，2)(1)116(2)D(3)D2.(1)当x＞0时，f(x)＝2xx2＋1的最大值为__________．(2)若x3，则函数f(x)＝4x－3＋x的最大值为________．(3)已知函数y＝ax＋3－2(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线xm＋yn＝－1上，且m，n0，则3m＋n的最小值为________．(4)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋1ab的最小值为________．(1)1(2)－1(3)16(4)172考点三__利用基本不等式解决实际问题____[规律方法]应用基本不等式解实际问题的步骤：①理解题意，设变量；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④写出正确答案．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．2.某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．3.某化工企业2014年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．考题溯源——基本不等式的实际应用(2014·高考福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．160如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．DN长的取值范围是0，23∪(6，＋∞)．(单位：米)x＝2时，矩形花坛的面积最小，为24平方米．1．(2015·青岛模拟)设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：a＋b22≤a2＋b22，则p是q成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件选B2．(2015·上海黄浦模拟)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2abB.ab＋ba≥2C.ab＋ba≥2D．a2＋b22ab选C.3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]选D4．(2015·湖北黄冈模拟)设a1，b0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为()A．3＋22B．6C．42D．22选A.5．(2015·山东青岛质检)在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．则函数f(x)＝(ex)*1ex的最小值为()A．2B．3C．6D．8选B.6．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值为________．87．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．588．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．209．(1)当x32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值；(2)设0x2，求函数y＝x（4－2x）的最大值．函数的最大值为－52.当x＝1时，函数y＝x（4－2x）的最大值为2.10．已知x0，y0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．xy的最小值为64.x＋y的最小值为18.1．不等式x2＋xab＋ba对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是()A．(－2，0)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－2，1)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)选C.2．(2013·高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A．0B．1C.94D．3当y＝1时，2x＋1y－2z的最大值为1.3．(2015·云南统一检测)已知a0，b0，方程为x2＋y2－4x＋2y＝0的曲线关于直线ax－by－1＝0对称，则3a＋2bab的最小值为________．43＋74．(2014·高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．(1)1900(2)1005．已知x0，y0，且2x＋5y＝20.求：(1)u＝lgx＋lgy的最大值；(2)1x＋1y的最小值．lgx＋lgy有最大值1.1x＋1y的最小值为7＋21020.6．(选做题)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？最低成本为200元．该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a0，b0。之后当a0，b