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第一章行列式1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式与三阶行列式用加减消元法解二元一次方程组：{𝜶𝟏𝟏𝒙𝟏+𝜶𝟏𝟐𝒙𝟐=𝒃𝟏𝜶𝟐𝟏𝒙𝟏+𝜶𝟐𝟐𝒙𝟐=𝒃𝟐（1.1）得方程组的唯一解为：x1=𝜶𝟐𝟐𝒃𝟏−𝜶𝟏𝟐𝒃𝟐𝜶𝟏𝟏𝜶𝟐𝟐−𝜶𝟏𝟐𝜶𝟐𝟏x2=𝜶𝟏𝟏𝒃𝟐−𝜶𝟐𝟏𝒃𝟏𝜶𝟏𝟏𝜶𝟐𝟐−𝜶𝟏𝟐𝜶𝟐𝟏为了便于记忆方程组（1.1）的解，引入记号D2=|𝑎𝑏cd|=ad-bc，称之为二阶行列式这样，二元一次方程组（1.1）的解可以用二阶行列式表示为x1=|𝒃𝟏𝜶𝟏𝟐𝒃𝟐𝜶𝟐𝟐||𝜶𝟏𝟏𝜶𝟏𝟐𝜶𝟐𝟏𝜶𝟐𝟐|x2=|𝜶𝟏𝟏𝒃𝟏𝜶𝟐𝟏𝒃𝟐||𝜶𝟏𝟏𝜶𝟏𝟐𝜶𝟐𝟏𝜶𝟐𝟐|在讨论三元一次方程组时，引入三阶行列式这一工具，三阶行列式定义为D3=|𝛼11𝛼12𝛼13𝛼21𝛼22𝛼23𝛼31𝛼32𝛼33|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32特殊的行列式（称为三角行列式）|𝑎𝑏0d|=|𝑎0cd|=|𝑎00d|=ad|𝑎𝑏c0|=|0𝑏cd|=|0𝑏c0|=—bc|𝛼∗∗0b∗00c|=|𝑎00∗𝑏0∗∗c|=abc|∗∗𝑎∗b0c00|=|00𝑎0b∗𝑐∗∗|=—abc二阶行列式和三阶行列式的关系：D3=|𝛼11𝛼12𝛼13𝛼21𝛼22𝛼23𝛼31𝛼32𝛼33|=𝛼11|𝛼22𝛼23𝛼32𝛼33|—𝛼21|𝛼12𝛼13𝛼32𝛼33|+𝛼31|𝛼12𝛼13𝛼22𝛼23|（1.2）引进如下三个二阶行列式：M11=|𝛼22𝛼23𝛼32𝛼33|M21=|𝛼12𝛼13𝛼32𝛼33|M31=|𝛼12𝛼13𝛼22𝛼23|记Ai1=(-1)i+1Mi1(i=1,2,3)，即A11=M11，A21=-M21，A31=M31称Mi1为元素𝛼𝑖1在D3中的余子式，称Ai1为元素𝛼𝑖1在D3中的代数余子式，由公式（1.2）可以知道三阶行列式的计算公式可以简写成D3=𝛼11M11-𝛼21M21+𝛼31M31=𝛼11A11+𝛼21A21+𝛼31A31把它称为D3按其第一列的展开式，简写为D3=∑𝛼𝑖1𝐴𝑖13𝑖−1=∑(−1)𝑖+1𝛼𝑖1𝑀𝑖13𝑖=11.1.2n阶行列式定义1.1.1Dn=a11A11+a21A21+…+an1An1此式称为Dn按第一列的展开式，由余子式和代数余子式的关系可得Dn=a11M11—a21M21+…+（-1）n+1an1Mn1上三角行列式和下三角行列式1、上三角行列式Dn=|𝛼1∗⋯∗𝛼2…∗⋱⋮𝛼𝑛|=𝛼1𝛼2…𝛼𝑛2、下三角行列式Dn=|∗𝛼2⋮⋮⋱∗∗…𝛼𝑛|1.2行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式展开定理）1、D按第i行的展开式=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+…+(-1)i+nainMin（i=1,2,…,n）2、D按第j列的展开式=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=(-1)1+ja1jM1j+(-1)2+ja2jM2j+…+(-1)n+janjMnj（j=1,2,…,n）1.3行列式的性质与计算1.3.1行列式的性质性质1行列式和它的转置行列式相等，即D=DT性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，行列式可以按行和按列提出公因数注意必须按行或按列逐次提出公因数任意一个奇数阶反对称行列式必为0，反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号，即若D=|aij|n是反对称行列式，则它满足条件aij=—aij，i，j=1,2，…，n性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于0性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于0性质5行列式可以按行（列）拆开（应当逐行、逐列拆开）=性质6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D定理1.3.1n阶行列式D=|aij|n的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于01.3.2行列式的计算1.4克拉默法则定理1.4.1含有n个方程的n元线性方程组的一般形式为{𝛼11𝑥1+𝛼12𝑥2+⋯+𝛼1𝑛𝑥𝑛=𝑏1𝛼21𝑥1+𝛼22𝑥2+⋯+𝛼2𝑛𝑥𝑛=𝑏2…………………………………………𝛼𝑛1𝑥1+𝛼𝑛2𝑥2+⋯+𝛼𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛（1.3）它的系数构成的n阶行列式D=|𝛼11𝛼12…𝛼1𝑛𝛼21𝛼22…𝛼2𝑛⋮⋮⋮𝛼𝑛1𝛼𝑛2…𝛼𝑛𝑛|称为方程组（1.3）的系数行列式定理1.4.2（克拉默法则）如果n个方程的n元线性方程组（1.3）的系数行列式D=|aij|n≠0，则方程组（1.3）必有唯一解，Xj=𝐷𝑗𝐷，j=1,2，…，n，其中Dj是将系数行列式D中第j列元素a1j，a2j，…，anj对应地换为方程组的常数项b1，b2，…，bn得到的行列式。说明：在用克拉黙法则求解线性方程组时，要求方程的个数与未知量的个数相等如果n元线性方程组（1.3）的常数项b1，b2，…，bn均为零，即{𝛼11𝑥1+𝛼12𝑥2+⋯+𝛼1𝑛𝑥𝑛=0𝛼21𝑥1+𝛼22𝑥2+⋯+𝛼2𝑛𝑥𝑛=0…………………………………………𝛼𝑛1𝑥1+𝛼𝑛2𝑥2+⋯+𝛼𝑛𝑛𝑥𝑛=0则称之为齐次线性方程组定理1.4.3如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它只有零解。Xj=𝐷𝑗𝐷，由于行列式Dj的第j列元素全为零，因此Dj=0，所以齐次线性方程组仅有零解。n个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式不等于零；它有非零解当且仅当它的系数行列式等于零。第二章矩阵2.1线性方程组与矩阵的定义2.1.1线性方程组含n个未知量的线性方程组称为n元线性方程组，它的一般形式为{𝛼11𝑥1+𝛼12𝑥2+⋯+𝛼1𝑛𝑥𝑛=𝑏1𝛼21𝑥1+𝛼22𝑥2+⋯+𝛼2𝑛𝑥𝑛=𝑏2…………………………………………𝛼𝑚1𝑥1+𝛼𝑚2𝑥2+⋯+𝛼𝑚𝑚𝑥𝑛=𝑏𝑚(2.1)方程的个数m与未知量的个数n可以相等，也可以mn或mn。一个线性方程组的所有解的集合称为该方程组的解集；如果两个方程组的解集相同，则称这两个方程组为同解方程组线性方程组的初等变换（1）把一个方程的倍数加到另一个方程上（2）互换两个方程的位置（3）用一个非零数乘某一个方程对于一个线性方程组可以只写出它的系数和常数项，并把它们按原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵。只列出方程组中未知量系数的表称为方程组的系数矩阵。2.1.2矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数aij（i=1，2…，m；j=1，2，…，n）排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵。通常用大写字母A，B，C等表示矩阵，当m=n时，称A=(aij)m×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a12，…，ann，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。当m=1时，称α=（a1,a2,…,an）为n维行向量，它是1×n矩阵当n=1时，称β=(𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑚)为m维列向量，它是m×1矩阵几种常用的特殊方阵1、n阶对角矩阵，必须是方阵2、数量矩阵：对角矩阵的主对角线上的元素都相同。当元素等于1时，称它为n阶单位矩阵，记为En或In3、n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵2.2矩阵运算2.2.1矩阵的相等定义2.2.1设A=(aij)m×n，B=(bij)k×l，若m=k，n=l且aij=bij，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等2.2.2矩阵的加、减法定义2.2.2设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n是两个m×n矩阵，由A与B的对应元素相加所得到的一个m×n矩阵，称为A与B的和，记为A+B。注：当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵，只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可以相加。由定义2.2.2知矩阵的加法满足下列运算律：设A，B，C都是m×n矩阵，O是m×n零矩阵，则（1）交换律A+B=B+A（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+O=O+A=A（4）消去律A+C=B+C⇔A=BA的负矩阵，记为—A，显然有A+(—A)=(—A)+A=O，由此可以定义矩阵的减法为A—B=A+(—B)2.2.3数乘运算数乘运算律（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数2.2.4乘法运算定义2.2.4设矩阵A=(aij)m×k，B=(bij)k×n，令C=(cij)m×n是由下面的m×n个元素Cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB由此定义可以知道，两个矩阵A=(aij)和B=(bij)可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等，当C=AB时，C的行数=A的行数，C的列数=B的列数，C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。由矩阵乘法可知：（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律（4）当AB=O时，一般不能退出A=O或B=O，这说明矩阵乘法不满足消去律若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵。矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式同侧消去。乘法运算律（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A(BC)（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A(B+C)=AB+AC（3）两种乘法的结合律k(AB)=（KA）B=A(KB)（4）EmAm×n=Am×nAm×nEn=Am×n方阵的方幂A0=EAkAl=Ak+l(Ak)l=Akl因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论（1）(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2⇔AB=BA（2）(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2=A2-B2⇔AB=BA（3）当AB=BA时，必有（AB）k=AkBk（4）当A=B时，在满足可乘条件下必可推出AC=BC，CA=CB，但未必有AC=CB,CA=BC（同方向相乘可以）因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论（1）由AB=O，A≠O不能推出B=O（2）A2=O,不能推出A=O（3）由AB=AC，A≠O不能推出B=C（4）由A2=B2不能推出（A+B）(A-B)=O和A=±B2.2.5矩阵的转置定义2.2.5把矩阵的行与列互换得到的n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT转置运算律（1）(AT)T=A（2）(A+B)T=AT+BT（3）(KA)T=KAT，k为实数（4）（AB）T=BTAT定义2.2.6设A=(aij)为n阶实方阵，若A满足AT=A，也就是说A中元