李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案

第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见p53，符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式设x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）11||||||niixx12221||||()niixx1||||max||iinxx7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(aij)的三种范数||A||1，||A||2，||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有1||A||2||||A||A||从定义可知，1||A||更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设A为非奇异阵，称数1(A)AAvvvcond（1,2,v）为矩阵A的条件数当(A)1cond时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2）注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。（2）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7）奇异矩阵的范数一定是零。答：错误，可以不为0。（8）如果矩阵对称，则||A||1=||A||∞。答：根据范数的定义，正确。（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0。（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。（11）||A||1=||AT||∞。答：根据范数的定义，正确。（12）若A是nn的非奇异矩阵，则)(cond)(cond1AA。答：正确。A是nn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。根据条件数的定义有：1111111cond()cond()()AAAAAAAAAA习题1、设A是对称阵且011a，经过高斯消去法一步后，A约化为21110AaaT，证明2A是对称矩阵。证明：设对称矩阵111211222212.....................nnnnnnaaaaaaAaaa，则经过1次高斯校区法后，有1112111222122121111(1)1121212111111121121222122111111121211111...0...............0......0...............0...nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa所以1122[...]Tnaaa1212221221111121121211111...............nnnnnnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa所以A2为对称矩阵。2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为()ijnAa，其中()ijnAa，(2)21()ijnAa；证明：（1）A的对角元素0(1,2,,)iiain；（2）2A是对称正定矩阵；（1）依次取nixTii,,2,1,)0,,0,1,0,,0,0(，则因为A是对称正定矩阵，所以有0AxxaTii。（2）2A中的元素满足),,3,2,(,1111)2(njiaaaaajiijij，又因为A是对称正定矩阵，满足njiaajiij,,2,1,,，所以)2(11111111)2(jijijijiijijaaaaaaaaaa，即2A是对称矩阵。3、设kL为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，kL和单位阵I相同），即1,,1...11......1kkknkLmm求证当,ijk时，kijkijLILI也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中ijI为初等置换矩阵。4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147页。5、设Uxd，其中U为三角矩阵。（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组Uxd的乘除法次数（3）设U为非奇异矩阵，试推导求1U的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1）如果A是对称正定矩阵，则1A也是对称正定矩阵（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成TALL，其中L是具有正对角元的下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组123123123123315183156xxxxxxxxx并求出系数矩阵A的行列式的值12331831111A123315|1831151116Ab使用列主元消去法，有123315|1831151116Ab18311512331511161831157015371731061861831157173106186701531831157173106186666600217A的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解123123123111945611183451282xxxxxxxxx本题考查LU分解。解：1114561113451122A10011031112L11145611130609095700540U9、用追赶法解三对角方程组bAx，其中2100012100012100012100012A，00001b。解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有（1）计算i的递推公式111/1/20.5cb22221/()1/(2(1)(0.5))2/3cba33332/()1/(2(1)(2/3))3/4cba44443/()1/(2(1)(3/4))4/5cba（2）解Ly=f111/1/2yfb2221221()/()(0(1)(1/2))/(2(1)(0.5))1/3yfayba3332332()/()(0(1)(1/3))/(2(1)(2/3))1/4yfayba4443443()/()(0(1)(1/4))/(2(1)(3/4))1/5yfayba5554554()/()(0(1)(1/5))/(2(1)(4/5))1/6yfayba（3）解UX=y551/6xy44451/5(4/5)1/61/3xyx33341/4(3/4)1/31/2xyx22231/3(2/3)1/22/3xyx11122(1/2)2/35/6xyx10、用改进的平方根法解方程组654131321112321xxx。本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157923,97,910321xxx。11、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。764142321A，133122111B，461561552621C。LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。解：因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的乘积。因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设3.01.05.06.0A，计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数0.6+0.5=1.1列范数0.5+0.3=0.82-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。TAA的最大特征值为0.3690所以2-范数为0.6074F-范数0.842613、求证：（a）xnxx1；（b）FFAAAn21。根据定义求证。xnxnxxxxininiiini1111maxmax。22,111nijFijAann2max2()TAAA14、设nnRP且非奇异，又设x为nR上一向量范数，定义Pxxp。试证明px是nR上向量的一种范数。根据向量范数的定义来