第12章《轴对称》中考题集(19)：12.4+专题训练与提升

第12章《轴对称》中考题集（19）：12.4专题训练与提升©2011菁优网菁优网©2010箐优网填空题1、（2010•扬州）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为3．考点：相似三角形的判定；轴对称-最短路线问题。专题：几何图形问题。分析：要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．解答：解：延长CB到E，使EB=CB，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．∵AD∥BE，∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，∴△ADP∽△BEP，∴AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，∴PB=32PA，又∵PA+PB=AB=5，∴PB=35AB=3．点评：考查相似三角形的判定及性质和轴对称等知识的综合应用．2、（2010•滨州）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为2√7．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理。专题：动点型。分析：要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．解答：解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．取CE中点F，连接DF．∵等边△ABC的边长为6，AE=2，菁优网©2010箐优网∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴BE=2DF，BE∥DF，又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF=2ME，∴BE=2DF=4ME，∴BE=43BM．在直角△BDM中，BD=12BC=3，DM=12AD=3√32，∴BM=√𝐵𝐷2+𝐷𝑀2=32√7，∴BE=43×32√7=2√7．∵EM+CM=BE∴EM+CM的最小值为2√7．点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．3、（2009•孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，﹣2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=﹣25时，AC+BC的值最小．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形变化-对称。专题：计算题。分析：先做出点A关于x=1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再把x=1代入即可得．解答：解：作点A关于x=1的对称点A'（﹣1，﹣2），连接A'B交x=1于C，可求出直线A'B的函数解析式为y=45𝑥﹣65，把C的坐标（1，n）代入解析式可得，n=﹣25．点评：此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．4、（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是4．菁优网©2010箐优网考点：轴对称-最短路线问题；角平分线的性质。专题：动点型。分析：从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．解答：解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，所以BM+MN的最小值是4．故填4．点评：本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值得求解是初中考查的重点也是难点．5、（2008•深圳）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10．菁优网©2010箐优网考点：轴对称-最短路线问题。分析：本题首先要明确奶站应建在何处，点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），则线段A1B与x轴的交点就是奶站应建的位置．从A、B两点到奶站距离之和最小时就是线段A1B的长．通过点B向y轴作垂线与C，根据勾股定理就可求出．解答：解：点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），过点B向y轴作垂线与C，则A1C=8，BC=6∴A1B=√𝐴1𝐶2+𝐵𝐶2=10∴从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10．故填10．点评：本题考查了轴对称的应用；正确确定奶站的位置是解题的关键，确定奶站的位置这一题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．6、（2008•荆门）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是5．考点：轴对称-最短路线问题。专题：动点型。分析：要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解．解答：解：如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴EN=∥AB，而由已知可得AB=√（6÷2）2+（8÷2）2=5，∴PM+PN的最小值为5．点评：考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．7、（2006•河南）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是√5．菁优网©2010箐优网考点：轴对称-最短路线问题。专题：动点型。分析：首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算．解答：解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，此时DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．连接BC′，易证BC′⊥BC，根据勾股定理可得DC′=√22+12=√5．点评：此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．8、（2010•扬州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为3√5．考点：翻折变换（折叠问题）。分析：根据勾股定理易求AB=10．根据折叠的性质有BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8﹣x，AC′=10﹣6=4．根据勾股定理可求x．在△BCD中，运用勾股定理求BD．解答：解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．根据折叠的性质，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．∴AC′=10﹣6=4．在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8﹣x，根据勾股定理得（8﹣x）2=x2+42．解得x=3．∴CD=3．∴BD=√𝐶𝐷2+𝐵𝐶2=√32+62=3√5．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．9、（2010•盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为√2．菁优网©2010箐优网考点：翻折变换（折叠问题）。分析：连DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证RT△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=√2DG=√2CD．解答：解：连DE，如图，∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD=45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴RT△DGE≌Rt△DCE，∴DC=DG，又∵△AGD为等腰直角三角形，∴AD=√2DG=√2CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为√2．故答案为：√2．点评：本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质．10、（2010•西宁）如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=28°，∠B=120°，则∠A′NC=116度．考点：翻折变换（折叠问题）。分析：先利用内角和定理求∠C，根据三角形的中位线定理可知MN∥BC，由平行线的性质可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差关系求∠A′NC．解答：解：已知∠A=28°，∠B=120°，由三角形的内角和定理可知，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=32°，∵MN是三角形的中位线，∴MN∥BC，∠A′NM=∠C=32°，∠CNM=180°﹣∠C=148°，∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=148°﹣32°=116°．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．菁优网©2010箐优网11、（2010•潍坊）直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD=2，AB=4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是12．考点：翻折变换（折叠问题）。分析：连接BD．根据折叠的性质，CE垂直平分BD．可证∠BCE=∠ABD，在△ABD中求出tan∠ABD得解．解答：解：连接BD，交CE于点F．根据题意得CE⊥BD．∵∠BCE+∠BEC=90°，∠BEC+∠EBF=90°，∴∠BCE=∠ABD．∵tan∠ABD=𝐴𝐷𝐴𝐵=24=12，∴tan∠BCE=12．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折痕垂直平分对应点的连线．12、（2010•泰安）如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D’重合，若BC=8，CD=6，则CF=53．考点：翻折变换（折叠问题）。分析：根据折叠的性质知：DF=D′F，可在Rt△CFD′中，用CF的长表示出D′F，进而由勾股定理求得CF的值．解答：解：∵D′是BC的中点，∴D′C=12BC=4；由折叠的性质知：DF=D′F，设CF=x，则D′F=DF=6﹣x；菁优网©2010箐优网在Rt△CFD′中，根据勾股定理得：D′F2=CF2+CD′2，即：（6﹣x）2=x2+42，解得x=53；故CF=53．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应的边相等．13、（2010•宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为32．考点：翻折变换（折叠问题）。分析：如图找到各对应点，由翻折的性质可得①②③④四个三角形的周长之和等于正方形的周长．解答：解：如图：C′B′与AB交点G′，与AD交于点H′，FC′与AD交于点W′，则这三个点关于EF对称的对应的点分别G