高等流体力学第3章

2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动1第三章流体涡旋运动2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动2流体的涡旋运动是工程和自然界中普遍存在的一种流动现象。涡旋的有害作用：•在自然界中，流体的涡旋运动具有很强的破坏作用，台风和龙卷风每年要吞噬成千上万人的生命。•涡旋的产生往往还伴随着机械能的损耗，使飞机、舰船、水轮机等的流体阻力增加，降低机械效率。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动3涡旋的有利作用：•航空学家利用三角翼所形成的涡旋以增加机翼的升力；•在水坝泄水口，为保护坝基不被急泻而下的水流冲坏，利用消能设备，人为地制造涡旋以消耗水流动能；•利用涡旋可以加快完成掺混媒质的任务，以加快化学反应速度，提高燃烧效率和热交换效率。——涡旋运动利害并存，因此需掌握涡旋规律。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动4主要内容第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程第二节无粘性流体的涡量输运方程及涡旋运动性质第三节涡旋在无粘性不可压缩流体中所引起的速度场第四节涡旋的产生、扩散及衰减2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动5第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性一、涡旋运动的一些基本概念和运动学特性第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动：流体速度的旋度称为流场的涡量，记为在流场的某一区域中，如果≠0，称在此区域流动有旋(涡旋运动)，否则称为无旋。vωrot涡量是空间坐标和时间坐标的函数。涡量构成矢量场，称为涡量场。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动6第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性说明：不能根据流体质点的运动轨迹判断流体运动是否有旋。均匀流和剪切流，流体质点的轨迹都为直线。均匀流无旋剪切流有旋“自由涡”和“强迫涡”，流体质点轨迹都为圆周。“自由涡”无旋“强迫涡”有旋2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动7第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性1.涡线、涡面和涡管涡线：对于同一时刻的质点线，如它上面任一点切线方向与该点流体涡量方向一致，这条线称为涡线。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动8第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性涡线方程：0dlω直角坐标系中：涡线上的微矢量元zyxzyxddd涡线族：在涡线方程中，时间t以参数形式出现，在同一时刻，涡线方程代表了一个涡线族。说明：在某一时刻构成涡线的质点线，在其他时刻不一定是涡线。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动9第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性涡面：在涡量场中任取一条非涡线的曲线，在同一时刻过该曲线的每一点作涡线所形成的曲面称为涡面。涡管：在涡量场中任取一条非涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线的每一点作涡线所形成的管状曲面称为涡管。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动10第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性根据定义，涡面和涡管上任一点的法向方向n和该点的涡量垂直。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动11第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性2.涡通量、速度环量和涡管强度涡通量：流场中某一曲面A上的涡量面积分，称为过该曲面A的涡通量：AAJdω2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动12第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性涡管强度：对于流场中某一时刻的某一涡管，取该涡管的一个横截面A，称过该曲面A的涡通量为该瞬时该涡管的涡管强度。AJAωd可以证明：涡管强度与横截面的取法无关。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动13第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性JAALAωAvlvddd速度环量：沿流场中某一时刻的封闭曲线L作速度的线积分，称为v沿该封闭曲线的速度环量：根据积分中的斯托克斯定理A为以曲线L为周界的任一曲面微分形式：Andd建立了涡通量与速度环量之间的关系。封闭曲线L以逆时针方向为正2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动14第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性3.涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理：在同一时刻同一涡管的各个截面上，涡通量都是相同的(涡管强度守恒)，且与截面选取无关。21dd'21AAAAnωnω2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动15第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性证明：涡管段的两个端面为A1和A2，侧表面为A3。0rotdivdivvω0ddivd321ωAωAAAJ奥－高公式2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动16第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性0ddivd321ωAωAAAJ0ddd332121AAAAAAJnωnωnω21dd'21AAAAnωnω0dd2121AAAAnωnω0dd21'21AAAAnωnω在同一时刻同一涡管的各个截面上，涡通量相同(涡管强度守恒)，且与截面选取无关。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动17第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程一、基本概念和运动学特性结论：•对于同一涡管，截面积越小的地方，涡量越大，流体旋转角速度越大；•涡管不可能收缩到零(否则涡量将变得无穷大)，因此涡管不能在流体中产生或终止，只能在流体中形成环形涡环，或始于边界、终止边界，或伸展到无穷运。21dd'21AAAAnωnω2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动18第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程二、粘性流体涡量输运方程二、粘性流体涡量输运方程对于粘性流体运动，当粘度为常数时，维纳-斯托克斯方程为：vvFv31Δ1DDbptωvωvωω22b1FDDpt粘度为常数时粘性可压缩流体运动的涡量输运方程两边取旋度，整理2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动19第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程二、粘性流体涡量输运方程影响涡量随体变化的因素：ωvωvωω22b1FDDpt表示速度沿涡线变化所引起的涡量变化。该变化分为两个部分：拉伸收缩变化扭曲变化平行于涡旋的速度变化使涡线上相邻两点产生沿涡线的相对位移，涡线伸长或收缩。垂直于涡线的速度变化使涡线上相邻两点产生垂直涡线的相对位移，使涡线扭曲。与流体散度有关的项。流体运动时，流体质点收缩，散度小于零，涡量增加；反之涡量减少。外力对涡量输运的作用流体非正压性对涡量输运的作用流体粘性对涡量输运的作用2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动20第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程三、粘性流体速度环量的变化三、粘性流体运动中速度环量的变化速度环量刻划了流体在运动过程中的涡旋特性，描述涡旋特性时，有时使用速度环量更方便。llllbvptllvllFd31dΔd1dDD对封闭流体质点线进行线积分粘度为常数的维纳-斯托克斯方程：vvFv31Δ1DDbptJAALAωAvlvddd2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动21第一节涡旋运动的基本概念和涡量输运方程三、粘性流体速度环量的变化llllbvptllvllFd31dΔd1dDD粘性流体运动中速度环量的变化体力对速度环量变化的影响；如体力有势，则该项为零。bF流体非正压性对速度环量变化的影响；如流体正压，则该项为零。两项为：流体粘性对速度环量变化的影响；如流体无粘性，则该项为零。表明：非有势的体力、流体非正压性和粘性是使速度环量随体运动发生变化的三个因素。JAALAωAvlvddd2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动22第二节无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质一、亥姆霍兹方程一、亥姆霍兹方程第二节无粘性流体涡量输运性质及涡旋运动性质ωvωvωω22b1FDDpt粘度为常数时粘性可压缩流体运动的涡量输运方程流体无粘性时pt2b1FDDvωvωω无粘性流体中涡量所必须满足的方程2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动23第二节无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质一、亥姆霍兹方程ωvωvωω22b1FDDpt流体无粘性时pt2b1FDDvωvωω流体体力有势且正压时0DDvωvωωt亥姆霍兹方程无粘性、体力有势、正压流体运动时，涡量所必须满足的方程2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动24第二节无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质二、开尔文定理二、开尔文定理0dddddllttv在体力有势、流体正压、无粘性的条件下，沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间而变化：正压的无粘性流体在体力有势时，沿着任何封闭流体线的速度环量在流动过程中保持不变。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动25第二节无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质二、开尔文定理证明：Ptddv欧拉方程(无粘性流体)：ptt1DDbFvvvv体力有势：流体正压：Pp1bFgradFbppPppPddd或正压函数体力势2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动26Ptddv第二节无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质二、开尔文定理则有：0dddddddddddllllPPtttllvlv0dddddllttv正压、无粘性、体力有势时，沿着任何封闭流体线的速度环量在流动过程中保持不变。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动27第二节无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质三、涡保持性定理三、拉格朗日涡保持性定理在体力有势、流体正压、无粘性的条件下，流体若在某一时刻的某一部分内无旋，则在这之前及以后时间，该部分流体内也无旋。拉格朗日涡保持定理说明，在一定条件下，流场中的漩涡既不会产生也不会消失。拉格朗日涡保持定理是判断流场是否有旋的重要依据。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动28第二节无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质三、涡保持性定理证明：假设：•流体的体力有势、正压、无粘性；•在某一时刻t0，所研究流体内无旋。根据斯托克斯公式：0ddALAnωlv任取的封闭曲线以L为边界的流体面说明在所讨论的流体中，沿任意封闭流体线的速度环量在t0时刻为零。2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动29第二节无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质三、涡保持性定理0ddlvAωLA0ddALAnωlv根据开尔文定理在以前任何时刻t1和以后任何时刻t2，该部分流体中任一封闭流体线的速度环量始终为零。根据斯托克斯定理曲面A选取的任意性0ω体力有势、正压、无粘性条件下，流体若在某一时刻的某一部分内无旋，则在这之前及以后时间，该部分流体内也无旋。所研究那部分流体中的任何流体曲面A2020/6/12高等流体力学第三章流体的涡旋运动30第二节无粘性流体涡量输运方程及