高等流体力学课后习题答案

第一章课后练习题解1.2一速度场用23,,111xyzuvwttt===+++描述��1�求加速度的欧拉描述��2�先求矢径表示式000(,,,)rrxyzt=���再求此加速度的拉格朗日描述��3�求流线。(1)解�加速度的欧拉描述2222210(1)112222(1)11(1)3336(1)11(1)xyzDuuuxxauDxtxtttvvyyyavtyttttwwzzzawtztttt∂∂==+=−+=∂∂+++∂∂=+=−+=∂∂++++∂∂=+=−+=∂∂++++12323000102030200(2)lnln(1)11(1)(1)(1)0c(1)(1)dxxdxdtxtcdttxtxctyctzcttxxyyzzxcyczrxtiytjz=⇒=⇒=++⇒++=+=+=+========++++���　先求迹线同样可求得�由时���得��于是位置矢量可表示为�30(1)tk+�加速度的拉格朗日描述�[]2022200223002(1)0(1)2(1)6(1)xyzaxttaytytaztztt∂=+=∂∂⎡⎤=+=⎣⎦∂∂⎡⎤=+=+⎣⎦∂()()()()111212231332(3)ln/112ln2/113ln3/111stststdxsdsxcxcexttdysdsycyceyttdzsdszczcezttxyzs/tycxz+++′=⇒=+⇒=++′=⇒=+⇒=++′=⇒=+⇒=+++′=　求流线从、、表达式中消去得3cx⎧⎨′′=⎩1.5已知流体质点的空间位置表示如下�2300000,(1),(1)ttxxyyxezzxe−−==+−=+−�求�1�速度的欧拉表示��2�加速度的欧拉和拉格朗日表示��3�过点(1,1,1)的流线及0t=时在000(,,)(1,1,1)xyz=处的流体质点的迹线��4�散度、旋度及涡线��5�应变率张量和旋转张量。解��1�速度欧拉表示22330000,22,33ttttxxyzuvxexewxexetttt−−−−∂∂∂∂=====−=−==−=−∂∂∂∂�2�加速度拉格朗日表示23000,4,9ttxyzuvwaaxeaxettt−−∂∂∂======∂∂∂加速度欧拉表示�230,4,9ttxyzuvwaaxeaxettt−−∂∂∂======∂∂∂�3�流线与迹线由于0u=�这是一个平面流动问题�流线微分方程为2300230102232,3ttttdydzdsxexeyxesczxesc−−−−==⇒−−=−+=−+由初始条件0120,(,,)(1,1,1)1,1,1sxyzxxcc==⇒====�于是�231,21,31ttxyeszes−−==−+=−+消去参数s得流线方程�()21,113txyze==−+将000(,,)(1,1,1)xyz=分别代入题目给出的x,y和z表达式�即得迹线方程�22331,11,11ttttxyeezee−−−−==+−==+−=�4�散度�旋度和涡线()()230023ttuvwuxexexyzyz−−∂∂∂∂∂∇⋅=++=+−+−=∂∂∂∂∂�322332023ttttijkuejekxyzxexe−−−−∂∂∂∇×==−∂∂∂−−������涡线方程�12322323tttxcdydzzyecee−−==⇒=−+−�5�应变率张量和旋转张量23232233330022000033000022tttttttteeeeeeee−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠S,A1.8设速度场/,,0uxtvyw===�求经过空间固定点(,,)xyz∗∗∗在t时刻的脉线方程。解�将速度式代入迹线微分方程�/0dxdydzdtxty===积分得123,,txctycezc===由(,,)(,,)txyzxyzτ∗∗∗==时得1123,,cxcyeczττ−−∗∗∗===将以上常数代入迹线方程�1,,txxtyyezzττ−−∗∗∗===以上即所求脉线方程�式中tτ−∞≤。1.11设一很长的风洞中�温度T的变化规律为/0sin2/xLTTaetπτ−=−���其中0TaLτ、、、均为常数�x是从入口处量起的距离�流体质点以常速度U进入风洞�求流体质点通过风洞时温度的变化率。解�求流体质点温度变化率即求温度的随体导数�()//222cossin1/xLxLDtTTttUaeUaeLDttxπππτττ−−∂∂⎛⎞=+=−+−−⎜⎟∂∂⎝⎠/222=sincosxLUttaeLπππτττ−⎛⎞−⎜⎟⎝⎠1.17已知流场2216,10,,uxyvwyz=+==�1�沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量�010,005,10xyyx≤≤=≤≤=��010,505,0xyyx≤≤=≤≤=���2�求涡量Ω��然后求AndAΩ⋅∫���式中τ是�1�中给出的矩形面积�n�是此面积的法线单位矢量。()105002200105331161016510105000016161051055000101051033LudlxdxdyxdxdyxyxxyxΓΓ=⋅=++++=++++==−∫∫∫∫∫��解���求环量222221610()(1)51050AAAijkuzikxyzxyyzndAzikkdAdAA∂∂∂Ω=∇×==−∂∂∂+Ω⋅=−⋅=−=−=−×=−∫∫∫��������������求涡量和涡通量比较以上结果得LLudlndA⋅=Ω⋅∫∫����1.19在p点的应力张量由下式给出�702050204−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥⎣⎦Σ求�1�在p点与法线单位矢量221333n⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠���垂直的平面上的应力矢量nP���2�垂直于该平面的应力矢量分量��3�n�与nP�之间的夹角。70222110(1),,0504,,03333204npn−⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥=⋅=−=−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠−⎢⎥⎣⎦Σ��解�2/31044(2)4,,02/3391/3nnnpnσ⎛⎞⎛⎞⎜⎟=⋅=−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠��(3)cosnnpnpnθ⋅=����510222449cos0.93891040320.1nnpnpθθ⋅==≈⎛⎞++⎜⎟⎝⎠≈����1.23设流动速度场0uyztvzxtw===���粘性系数0.01Ns/mµ=⋅�求各切应力。202020()0.020.010.01xxyyzzxyyxxzzxyzzyuvwxyzuvztztztyxuwytytzxvwxtxtzyτµτµτµττµµττµµττµµ∂∂∂======∂∂∂⎛⎞∂∂==+=+=⎜⎟∂∂⎝⎠∂∂⎛⎞==+==⎜⎟∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂==+==⎜⎟∂∂⎝⎠解���1第二章课后练习题2.2从欧拉观点出发�利用边长分别为,rrδδθ和sinrθδω的微元控制体推导球坐标系中连续方程的一般表达式。解�作控制体如图。依据质量守恒原理�控制体内质量变化率�净流出控制体质量流率�0�a�控制体内质量变化率�()22sinsinrrrrttρρθδδθδωθδδθδω∂∂=∂∂(b)从const.r=面流入控制体质量流率2sinrurρθδθδω从const.rrδ+=面流出控制体质量流率()22sinsinrrururrrρθδθδωρθδθδωδ∂+∂于是则沿r方向净流出控制体质量流率�()2sinrurrrρθδθδωδ∂∂(c)同样可推得沿θ和ω方向净流出控制体质量流率分别为()sinurrθρθδθδωδθ∂∂和()urrωρδθδωδω∂∂(d)(e)将式(b)、(c)、(d)和(e)代入式(a)�并加以整理得()()()22111sin0sinsinrruuutrrrrθωρρρθρθθθω∂∂∂∂+++=∂∂∂∂(f)2.3利用附录C中给出的直角坐标系和圆柱坐标系变量间的函数关系�从直角坐标系中的连续方程出发推导圆柱坐标系中的连续方程。解�直角坐标与圆柱坐标间坐标变量关系�22,tg=/sincoscos,sin,,sincoscossinRxyyxRRxyxRyRRxRxxRRRyRyyRRzzθθθθθθθθθθθθθθθθθ=+⇒∂∂∂∂===−=⇒∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=−∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂直角坐标与圆柱坐标间速度分量间关系�cossin,sincos,Rzuuvuuvuwθθθθθ=+=−+=于是rθωxyzrδrδθsinrθδω2()()()()()()()()()()()()()sincoscossin1cossinsincos1cossinuvwuxyzuuvvwRRRRzuvuvRRuvwRzρρρρθθθρρθρρρθθρθθρθθθρθθρ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂=−+++∂∂∂∂∂∂∂=++−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂∂+++⎡⎤⎣⎦∂�()()()11RRuuuwRRRzθρρρρθ∂∂∂=+++∂∂∂()()()11RRuuwRRRzθρρρθ∂∂∂=++∂∂∂将上式代入连续方程()0utρρ∂+∇⋅=∂�得圆柱坐标中连续方程为()()()110RRuuwtRRRzθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂2.5流体在弯曲的变截面细管中流动�设A为细管的横截面积�在A截面上流动参数均匀分布�试证明对该细管连续方程可写为�()0AAutsρρ∂∂+=∂∂式中u是沿管轴的速度�sδ是沿流动方向的微元弧长。()()121221,0,()CVCSCVCSAAdsAAdVundstdVAdsttAuundsAuAudssAtρρρρρρρρρΣΣ∂+⋅=∂∂∂≈∂∂∂⋅=++=−≈∂∂+∂∫∫∫∫∫∫∫����解�取长的细管如图取两端面、及侧表面所围之体积为控制体。应用积分连续方程对于上述控制体代入积分连续方程得()0Ausρ∂=∂2.11利用直角坐标系和圆柱坐标系坐标间的函数关系�推导惯性项()uu⋅∇��在圆柱坐标系中的径向分量的表达式。1A22uρ11uρdsΣ2A3解�首先求算符u⋅∇�在圆柱坐标系的表达式。利用2.3题中得到的直角坐标与圆柱坐标中对坐标导数的关系式�()()sincoscossin1cossinsincosRzuuvwxyzuvwRRRRzuvuvwRRzuuuRRzθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂⋅∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=−+++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂=++−++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂�利用速度分量关系式cossinRuuvθθ=+有[]()cos()sin()cossincossincossincossincossinRRzRzRzRuuuuuvuuuuuvvvuuuuRRzRRzuuvuvuvuuRRRzzuuvRθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅∇=⋅∇+⋅∇∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂=+∂����()(cossin)(sincos)(cossin)zuuvuvRuuvzθθθθθθθθθ∂⎡⎤++−−+⎢⎥∂⎣⎦∂++∂2RRRRRRRzRzuuuuuuuuuuuuuuRRzRRzRθθθθθθ∂∂∂∂∂∂⎛⎞=+−+=++−⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠又解�由附录C()()()()123212322111111212311331233311()()()aaaaaaaaahahahxxxhxxahahaeeehxx⎧⎛⎞⎡⎤∂∂∂∂∂⎪⋅∇=++−−⎨⎜⎟⎢⎥∂∂∂∂∂⎪⎝⎠⎣⎦⎩⎫⎡⎤∂∂⎪+−+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎬⎢⎥∂∂⎪⎣⎦⎭�����对于柱坐标�123123123123,,,,,1,,1,,,RzRzxRxxzauauauhhRheeeeeeθθθ============������于是�2[()]()RzRRzRRzzRRRRzuuuuuuueuuuuuRuuRRRRRzRuuuuuuuRRzRθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎡⎤⎛⎞⋅⋅∇=++−−+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎝