高等电磁场理论课件1

高等电磁场理论主讲教师：赵永久办公地址：明故宫校区12－526Tel:[phone]E-mail:[e-mail]第一章电磁场的基本方程1.1麦克斯韦方程组一、基本实验定律1、库仑定律真空中两个静止的点电荷间相互作用力：3214RRqqFπεvr=—库仑定律Rv—两个点电荷间的距离矢量，指向受力的电荷；ε—媒质的介电常数或电容率。真空中9010361−×=πε（F/m）一、基本实验定律1q、2q的位置可用它们所在点的矢径表示。如图，q2所受的力为：31222214)(rrrrqqFrrrrr−−=πεyxzq2q12rv1rv12rrvv−一、基本实验定律定义任一点处单位正电荷所受的力为该处的电场强度。单位为牛顿/库仑（N/C）。若在rr处放置点电荷0q（称为试探电荷），所受的力为()rFqrr0，则该处的电场强度为：()0000limqFrEqqrrr→=将式()rFqrr0代入可得，位于r′r处的点电荷q在rr处产生的电场强度为34)()(rrrrqrE′−′−=rrrrrvπε一、基本实验定律由于rrrrrr′−−∇=′−′−rrrrrr1)(3，则rrqrE′−∇−=rrrv14)(0πε令rrqr′−=rrr04)(πεϕ，则有ϕ−∇=)(rErv可见，静电场是位场，标量函数ϕ称为库仑位。一、基本实验定律分布电荷的电场强度：以体电荷为例，Vd′内的电荷元Vdr′′)(vρ可看作点电荷，产生的电场强度为34)()()(rrrrVdrrEd′−′−′′=rrrrvrvπερV内体电荷产生的总电场强度∫∫′′−∇′−=′′−′−′=VVVdrrrVdrrrrrrErrvrrrrvrv1)(414))(()(3ρπεπερ同样可写成：ϕ−∇=Ev∫′′−′=VVdrrr||4)(vvvπερϕ面电荷与线电荷情况类似。一、基本实验定律rvr′vrr′−vvOI′l′Il2、安培定律与磁感应强度实验表明，位于rr处电流元lIdv受到位于r′r处的ldI′′v的作用力()[]34rrrrldIldIFdl′−′−×′′×=vvvvvvvπμ—安培定律μ—媒质的磁导率真空中70104−×=πμ（H/m）一、基本实验定律lFv本质上为ldI′′v在空间产生的磁场对lIdv的作用。安培定律可改写为：())(43rBdldIrrrrldIldIFdlvvvvvvvvvv×=′−′−×′′×=πμ故：()34)(rrrrldIrBd′−′−×′′=vvvvvvvπμ是代表ldI′′v磁场的一个物理量，称ldI′′v在rr产生的磁感应强度。载有电流I的整个闭合回路l在rr处产生的磁场强度为：()()∫′−′−×=lrrrrldIrB34vvvvvvvπμ—毕奥-沙伐定律单位是特斯拉（T）或韦伯/米²（Wb/m²）。一、基本实验定律对体电流，等效电流元为：VdJldSdJldI′=′′=′vvv该电流元在rv处产生的磁感应强度：()()()VdrrrrrJrBd′′−′−×′=304vvvvvvvvπμ则：()()()∫′′−′−×′=VVdrrrrrJrB304vvvvvvvvπμ类似地，面电流的磁感应强度为：()()()∫′′−′−×′=SsSdrrrrrJrB304vvvvvvvvπμ)(rJvvdS’dl’)(rJvvsrvO△l一、基本实验定律3、洛仑兹力考虑运动电荷受力情况：运动电荷首先是电荷，将受到电场的作用力；其次电荷的运动形成电流，故也要受到磁场的作用力。实验表明，作用力为)(BvEqFvvvv×+=—洛仑兹方程Fv—洛仑兹力。两种特殊形式：当q静止(0vv=v)或0=Bv时：EqFvv=Ev为任意分布电荷产生的总电场。在0=Ev的情况下，运动电荷q在磁场中所受的作用力为BvqFvvv×=一、基本实验定律运动体电荷：设体电荷密度为ρ，以速度vv运动，则运流电流密度为vJvvρ=，此时单位体积所受的电磁场的作用力可表示为BJEBvEVFfVvvvvvvvv×+=×+=ΔΔ=→Δρρ)(lim0式中fv为体积力密度，第一项为电场力密度，第二项为磁场力密度。则整个带电体所受的电磁场的作用力为∫′×′+′=VVdBrJErF])()([vvvvvvρ一、基本实验定律4、法拉第电磁感应定律1831年，英国物理学家法拉弟（Faraday）发现，当与一个闭合回路相交链的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电动势。其大小等于磁通量变化率的负值。∫•−=−=SinSdBtddtddVvvψ（V）其参考方向与磁场方向成右手螺旋关系。BvinV一、基本实验定律对于运动的闭合回路，还应考虑运动带来的磁通量变化，此时∫∫•×+•∂∂−=lSinldBvSdtBVvvvvv)(（V）BvinVvvdtvvdtldvSd)(vvv×=)()()(bacacbcbavvvvvvvvvו=ו=ו一、基本实验定律5、电流连续性方程在导体中任取一闭合曲面S，由电荷守恒定律，流出S的电流应等于S中电荷的减少率，即：dtdqSdJS−=⋅∫vv—电流连续方程的积分形式应用高斯散度定理，可得：∫∫∫∂∂−=−=⋅∇VVVdVtdVdtddVJρρv或0)(=∂∂+⋅∇∫VdVtJρv由于体积V是任意的，只有tJ∂∂−=⋅∇ρv—电流连续方程的微分形式二、麦克斯韦方程组1、高斯定理假设在均匀无界空间中，闭合面S包围的体积V内分布有密度为)(r′vρ的体电荷，则有∫∫′′−∇′−=′′−∇⋅∇′−=⋅∇=⋅∇VVVdrrrVdrrrED||1)(41||1)(41)(2vvvvvvvvρπρπε利用关系式)(4||12rrrr′−−=′−∇vvvvπδ所以)()(rrDvvvρ=⋅∇—高斯定理的微分形式它表明矢量场Dv的场源为自由电荷。二、麦克斯韦方程组将上式在体积V内积分，并应用高斯散度定理∫∫=⋅VSdVrSdrD)()(vvvvρ—高斯定理的积分形式它表明电位移Dv向外穿过闭合面S的通量等于S所包围的体积V内总的自由电荷。高斯定理虽然是由静电场得出的，麦克斯韦认为，高斯定理也适用于时变场的情况。二、麦克斯韦方程组2、磁通连续性原理设体积V内有恒定电流)(rJ′vv，则∫∫′′−∇×′−=′′−′−×′=VVVdrrrJVdrrrrrJrB||1)(4||)()(4)(3vvvvvvvvvvvvπμπμ考虑到AAAvvv×∇+×∇=∇ϕϕϕ)(以及0)(vvv=′×∇rJ，有||1||1||1||1||rrJJrrJrrJrrrrJ′−∇×−=×′−∇=×∇′−+×′−∇=′−×∇vvvvvvvvvvvvvvv则∫∫′′−′×∇=′′−′×∇=VVVdrrrJVdrrrJrB||)(4||)(4)(vvvvvvvvvvπμπμ令∫′′−′=VVdrrrJrA||)(4)(vvvvvvπμ—磁矢位可见)()(rArBvvvv×∇=二、麦克斯韦方程组由此可求得0=⋅∇Bv—磁通连续性原理的微分形式它表明不存在与电荷相似的磁荷。两边在体积V内积分得：0=⋅∫SSdBvv—磁通连续性原理的积分形式它表明磁感应强度穿过任何封闭曲面的磁通量等于0。磁通连续性原理是由静磁场中的毕奥-沙伐定律得出的，麦克斯韦认为，它同样适合于时变磁场。二、麦克斯韦方程组3、安培环路定律∫′′−′×∇×∇=×∇×∇=×∇VVdrrrJAB||)(4vvvvvvπμ∫∫′′−∇′−′′−′⋅∇∇=VVVdrrrJVdrrrJ||1)(4||)(42vvvvvvvvπμπμ由于)(4||12rrrr′−−=′−∇vvvvπδ第二项：)(||1)(42rJVdrrrJVvvvvvvμπμ−=′′−∇′∫第一项：考虑到||1||1rrrr′−∇′−=′−∇vvvv和0)(=′⋅∇rJvv，有||1)()(||1||1)(||)(rrrJrJrrrrrJrrrJ′−∇⋅′=′⋅∇′−+′−∇⋅′=′−′⋅∇vvvvvvvvvvvvvvvvAAAvvv2)(∇−•∇∇=×∇×∇二、麦克斯韦方程组右端第一项积分∫∫′′−∇′⋅′∇−=′′−′⋅∇∇VVVdrrrJVdrrrJ||1)(4||)(4vvvvvvvvπμπμ利用矢量恒等式)(||1||1)(||)(rJrrrrrJrrrJ′⋅∇′′−+′−∇′⋅′=′−′⋅∇′vvvvvvvvvvvv对于恒定电流有0)(=′⋅∇′rJvv，于是∫∫∫′⋅′−′∇−=′′−′⋅∇′∇−=′′−′⋅∇∇SVVSdrrrJVdrrrJVdrrrJvvvvvvvvvvvvv||)(4||)(4||)(4πμπμπμ由于S上处处不可能存在电流密度的法向分量，即处处有0)(=′⋅′SdrJvvv，因此上式等于零。于是)()(rJrBvvvvμ=×∇二、麦克斯韦方程组磁场强度矢量Hv与磁感应强度Bv满足HBvvμ=，可得)()(rJrHvvvv=×∇—安培环路定律微分形式应用斯托克斯定理，上式两端在任一曲面上积分得：∫∫⋅=⋅SCSdrJldrHvvvvvv)()(—安培环路定律积分形式上述结论是由恒定磁场得出的，对于时变磁场，由微分形式可得0)()(=⋅∇=×∇⋅∇rJrHvvvv它与时变情况下的电流连续性方程trJ∂∂−=⋅∇ρ)(vv相矛盾。因此，微分形式的安培环路定律右端必须另加上一电流密度项)(rJdvv使得0)()(=⋅∇+⋅∇rJrJdvvvv二、麦克斯韦方程组电流连续性方程trJ∂∂−=⋅∇ρ)(vv代入得：trJd∂∂=⋅∇ρ)(vv由高斯定理ρ=⋅∇Dv，可得tDJd∂∂=vv—位移电流密度故对时变场，安培环路定律应修正为tDJH∂∂+=×∇vvv—微分形式∫∫∫⋅∂∂+⋅=⋅SSCSdDtSdJldHvvvvvv—积分形式引入位移电流概念是麦克斯韦对电磁理论的重大贡献。交变的电场产生磁场！二、麦克斯韦方程组4、法拉第电磁感应定律的推广麦克斯韦认为：交变的磁场激发非保守的感应电场，无论有无导体，感应电场沿闭合回路积分均非0，闭合回路中感应电场积分形成感应电动势：∫∫⋅∂∂−=⋅SCSdtBldEvvvv—电磁感应定律的积分形式由斯托克斯公式：∫∫∫⋅∂∂−=⋅×∇=⋅SSCSdtBSdEldEvvvvvv0=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+×∇∫SSdtBEvvv因S任意，所以：tBE∂∂−=×∇vv—电磁感应定律的微分形式交变的磁场产生电场！二、麦克斯韦方程组微分形式积分形式5、麦克斯韦方程组(1)麦克斯韦方程组的基本形式上述四个定律共同构成麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂−=×∇∂∂+=×∇ρDBtBEtDJHvvvvvvv0⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂−=⋅⋅∂∂+⋅=⋅∫∫∫∫∫∫∫∫VSSSCSSCdVSdDSdBSdtBldESdDtSdJldHρvvvvvvvvvvvvvv0二、麦克斯韦方程组(2)麦克斯韦方程组的物理意义微分形式：某点的场与场源的时空变化关系—逐点的。积分形式：任一闭合曲线及其所围成的面积内或任一闭合曲面及其所包围的体积内场与场源的时空变化关系—整体的。两个旋度方程是联系电场与磁场的方程。磁场旋度方程：电流与变化的电场产生磁场，Jv和tD∂∂v是磁场的涡旋源；电场旋度方程：变化的磁场产生电场，tB∂∂−v是电场的涡旋源；两个散度方程分别表示磁场和电场各自性质，磁场散度方程：磁通的连续性，即不存在自由的磁荷。电场散度方程：电荷产生电场，而且自由电荷密度ρ是电场的发散源。二、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组反映两个规律：场源(电荷与电流)激发电磁场的规律；电场与磁场相互转化的规律。即使在不存在场源的区域，或者场源在激发起电磁场后消失，电场与磁场通过本身的变化而互相激发，由近及远，形成电磁波。麦克斯韦首先从这些方程在理论上预言电磁波的存在。麦克斯韦方程组的建立并获得证明的过程：静态场的基本实验定律→高斯定理、磁通连续性定理、安培环路定律、电磁感应定律推广→麦克斯韦方程组(假说)赫兹试验→获得验证。今天，无线电技术的广泛应用完全证实了麦克斯韦方