高等电磁场理论课件6

第六章电磁辐射与散射引言电磁波的辐射与散射问题本质上是个电磁场的边值问题，对于辐射问题，首先天线上的电流激发出电磁场，而电磁场又反过来影响天线上的电流分布，所以需要同时确定空间中的电磁场（方程的解）及天线上的电流分布（边界条件），即要作为电磁场的边值问题来处理。对于散射问题，散射场可以等效为在已知入射波照射下，在散射体表面的等效源产生的场，因此也是一个边值问题。由于电磁场边值问题的解析解比较复杂，而且所能解决的只有少数的简单问题，这里只讨论当天线或散射体上的场源已知的情况下，任意和由给定源分布计算无界空间或半无界空间电磁波的辐射与散射问题。一、辐射场与辐射功率一、远区辐射场设场源分布于有限空间V内，包括电流源和磁流源，如下图所示。由第二章的结果及对偶原理，在无界空间中，其电磁场表示式为VdrrGrrrGrJrJrrGjrEVeme′⎥⎦⎤⎢⎣⎡′∇′′−′∇′×′+′′−=∫),()(),()()(),()(000KKKKKKKKKKKKKερωμ∫′′∇′′−′∇′×′−′′−=VmemVdrrGrrrGrJrJrrGjrH)],()(),()()(),([)(000KKKKKKKKKKKKKμρωε式中rrerrGrrkj′−=′′−−KKKKKKKπ4),(0zxyrKr′K||rrR′−=KKoV一、辐射场与辐射功率利用连续性方程)()(rjrJee′−=⋅∇′KKKωρ)()(rjrJmm′−=⋅∇′KKKωρVdrrGrJrrGrJjrJrrGkjrEVeme′′∇′′⋅∇′−′∇′×′−′′−=∫)],()(),()()(),([)(0002KKKKKKKKKKKKKωεωε[]VdrrGrJrrGrJjrJrrGkjrHVmem′′∇′′⋅∇′−′∇′×′+′′−=∫),()(),()()(),()(0002KKKKKKKKKKKKKKωμωμ根据并矢分析公式000)()()(GJGJGJ∇′∇′⋅+∇′⋅∇′=∇′⋅∇′KKK并考虑到高斯定理可得VdrrGrJV′′∇′′⋅∇′∫),()(0KKKK=VdrrGrJSdrrGrJnVS′′∇′∇′⋅′−′′∇′′⋅∫∫),(])([)],()([00KKKKKKKKK一、辐射场与辐射功率当S足够大以至于它可将所有的场源均包围在其内，即S面在场源区之外，所以S面上没有电流，则上式中的面积分项为零。因而VdrrGrJVdrrGrJVV′′∇′∇′⋅′−=′′∇′′⋅∇′∫∫),(])([),()(00KKKKKKKK将上式代入电场、磁场表达式中得[]{}∫′′∇′∇′⋅′+∇′×′−′−=VemeVdrrGrJrJjrJkjrE),()()()()(02KKKKKKKKKKωεωε()[]∫′∇′∇′⋅+∇′×−−=−VjkRemeVdReJJjJkjKKKωεπωε24()()()[]{}()∫′′∇′∇′⋅′+∇′×′+′−=VmemVdrrGrJrJjrJkjrHKKKKKKKKKK,)(02ωμωμ()[]∫′∇′∇′⋅+∇′×+−=−VjkRmemVdReJJjJkjKKKωμπωμ24一、辐射场与辐射功率对于远区场的情况上述公式可进一步化简，注意式中算符∇′是对源点坐标进行的，场点P是固定的，因此RReRjkRejkRjkRˆ)1()(−−+=∇′式中Rˆ为源点到观察点P方向的单位矢量。()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∇′⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇′∇′⋅−−RReRjkJReJjkRjkRˆ1KK()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇′⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇′⋅=−−RReRJRRejkJjkRjkRˆ1ˆKK其中单位矢量Rˆ是随源点位置变化的变矢。则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇′⋅−RRejkJjkReˆK()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅+∇⋅+∇⋅−=−−−RJReRJeReJRRjkejkRejkRjkReˆ1ˆˆKKK)ˆ()(RdRdfRdRdfRf−=∇′=∇′一、辐射场与辐射功率()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−+⋅−−=−−−RIRRRJReRRJeRRJRRejkjkejkRejkRejkRˆˆˆˆˆˆ2KKK()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅+⋅−=−RJjkRJRRjkRRJkReeeejkRKKKˆˆ2ˆˆ2同理可得()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇′⋅−−RJRRRJRRjkRJReRReRJeeejkRjkReˆˆ3ˆˆˆ122KKKK因此()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇′∇′⋅−−RjkRJRRJRjkRRRJkReReJeeejkRjkRe1ˆˆ13ˆˆ2KKKKAAAKKK∇+∇=∇ϕϕϕ)(R1=ϕ，RAKK=IR=∇K一、辐射场与辐射功率在远区，R很大，可只考虑到1−R项，略去高次项，有()()RReRJkReJjkRejkReˆˆ2−−⋅−≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇′∇′⋅KK，RRejkRejkRjkRˆ−−≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇′由于rr′，1kr，因此rrR′−=KKK和rK矢量可认为是平行的，即rRˆˆ=，所以可取rRrrrR′⋅−=′−=KKKKˆ，rrrR111≈′−=KK，rereRRerrjkjkrjkRˆˆˆ′⋅−−−⋅≈K以上三式代入电磁场表达式得∫′⋅−×+⋅−−=VrrjkmeejkrdVerJrrJJerjrEKKKKKKˆ21]ˆ)(ˆ)ˆ([4)(μεπωμ∫′⋅−×−⋅−−=VrrjkemmjkrdVerJrrJJerjrHKKKKKKˆ21]ˆ)(ˆ)ˆ([4)(εμπωε一、辐射场与辐射功率这就是远区电磁场的表示式。因为式中的积分与r无关，因而当∞→r时，rE和rH保持为有限值。考虑到rrJJrJrJrrrJrˆ)ˆ(ˆ)ˆ()ˆˆ()ˆ(ˆ⋅−=⋅−⋅=××KKKKK由上述)(rEKK和)(rHKK的表达式可得0)ˆ(]ˆ)ˆ([)()ˆ(ˆ)()ˆ(4])(ˆ[212121=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧×−⋅−−××+×−−=+×⋅−∫dVerJjrrJJjrJrjJrjeEHrrrujkVmmjkrrKKKKKKKKKωεμεωμεωωεπμε因此0])(ˆ[lim21=+×∞→EHrrrKKμε同理可得0])ˆ()[(lim21=−×∞→HErrrKKμε可见远区场满足辐射条件。一、辐射场与辐射功率从)(rEKK和)(rHKK的表达式可直接看出，远区场量)(rEKK和)(rHKK均与rˆ垂直，这是因为式中积分号内的第一项JK，它在rˆ方向的分量正好被第二项rrJˆ)ˆ(⋅K所抵消，而第三项rJˆ×K与rˆ垂直。二、辐射功率当煤质的με,为实数时，简谐场的复数坡印廷定理的微分形式为)(221−−⋅−=⋅∇∗•emwwjEJSωKKK式中∗•×=HESKKK21为复坡印廷矢量，∗⋅=HHwmKKμ41为磁能密度的时间平均值，∗⋅=EEweKKε41为电能密度的时间平均值。一、辐射场与辐射功率上式两边的虚部在体积V内积分，得dVwwdVEJdVSVemVV∫∫∫−−⋅−=⋅∇∗)(2Im21Im0ωKKK(*)式中V为包含0V的任意体积，0V为电流源JK所占据的体积。利用高斯定理将上式左边的体积分写成面积分dsSndVSSV∫∫⋅=⋅∇KKKImIm式中S为包围体积V的封闭曲面，nK为该曲面外法线方向的单位矢量。取体积V与0V相重合，S为0V表面0S，则式(*)可写为dVwwdVEJdSSnVemVS∫∫∫−−⋅−=⋅∗000)(2Im21ImωKKKK(**)一、辐射场与辐射功率当体积V取为全空间时，记为∞V，S为距场源无限远的球面∞S，此时式(*)可写为dVwwdVEJdSSnVemVS∫∫∫∞∞−−⋅−=⋅∗)(2Im21Im0ωKKKK对于远区场，∗×=HESKKK21为实数，因此上式左边为零，则有dVwwdVEJVmeV∫∫∞−=⋅∗)(2Im210ωKK(***)一、辐射场与辐射功率上式表明，EJKK⋅*21在0V内积分的虚部等于全空间中储存的电能和磁能时间平均值之差的ω2倍。取(**)式与(***)式之差，得dVwwdsSnVVemS∫∫−∞−=⋅00)(2ImωKK由上式可见，从0S中流出的虚功率等于0V外面磁能与电能时间平均值之差的ω2倍。以上诸式给出束缚电磁波之功率与场源和电磁储能间的转换关系。一、辐射场与辐射功率将式)(221−−⋅−=⋅∇∗emwwjEJSωKKK两边的实部在包围0V的任意体积V内积分，并利用高斯定理可得dVEJdSSnVSKKKK⋅−=⋅∫∫∗0Re21Re式中S为包围0V的任意曲面，它可取为0V的表面0S，也可取为无限远处的球面∞S，上式左边及右边均表示辐射功率的时间平均值，因此，可有两种方法计算辐射功率：一种方法是利用公式dSSndsSnPSS⋅=⋅=∫∫KKKKRe式中∗×=HESKKKRe21当取S为∞S时，式中EK、HK为远区辐射场。一、辐射场与辐射功率由辐射场EK、HK的一般公式，只有时谐电流源时的远区场为VderJrrrJerjErrjkVeejkr′′⋅−′−=′⋅−∫KKKKKKˆ0)]}(ˆ[ˆ)({4πωμ])(ˆ[ˆ40ˆVdrJerrerjeVrrjkjkr′′××=∫′⋅−KKKπωμ])(ˆ[40ˆ∫′′×−=′⋅−VerrjkjkrVdrJererjkHKKKKπ根据上面两式有rHEˆ)(21×=KKεμErHKK×=ˆ)(21με∗×=HESKKK21*ˆˆ22221])(ˆ[])(ˆ[32)(ˆ00VdrJerVdrJerrkreVrrjkeVrrjk′′×⋅′′×=∫∫′⋅′⋅KKKKKKπεμ2ˆ22221|)(ˆ|32)(ˆ0VdrJerrkreVrrjk′′×=∫′⋅KKKπεμ一、辐射场与辐射功率取∞S为无限远处的球面，则有rnˆ=K，Ω=drdS2，Ωd为立体角元，所以Ω⋅=⋅=∫∫∞drSrdSSnPS2ˆKKK2ˆ2221|)(ˆ|32)(0VdrJerdkeVrrjk′′×Ω=∫∫′⋅KKKπεμ这种计算辐射功率的方法称为坡印廷矢量法。计算辐射功率的另一种方法是利用公式dVEJPVKK⋅−=∫∗0Re21由电流JK产生的电场EK可由并矢格林函数法表示为VdrJrrekjErrjkV′′⋅′−∇∇+−=′−−∫)(||4)11(||20KKKKKKKπωμ代入功率表达式中得dVVdrJrrrrkkrJPVV′′⋅′−′−∇∇+⋅=∫∫)(|||)|sin()11()(82*00KKKKKKKKπωμ辐射功率的这种计算方法称为感应电动势法。一、辐射场与辐射功率-LxLzoyrKθ作为上述公式的应用，利用这两个公式计算线天线的辐射功率。设有一长度为2L的细直天线，沿z轴放置，其中点在坐标原点，如图。因天线很细，其天线电流可近似地表示为()()()zfyxIzJδδ0ˆ=K式中0I为实数，f(z)为表示天线上各点电流的相对幅度与相位的实数z的复函数。由电流的表示式可得zdzfeIzdVrJeLLzjkVrrjk′′=′∫∫−′′⋅)(ˆ)(cos0'ˆ0θKKK代入2ˆ2221|)(ˆ|32)(0VdrJerdkPVrrjk′′×Ω=∫∫′⋅KKKπεμ并利用θϕsinˆˆˆ−=×zrθθπεμπθdezdzdzfzfIIkPzzjkLLLL∫∫∫′−−−−∗′′=03cos)(*00221sin)()(16)(一、辐射场与辐射功率将()()()zfyxIzJδδ0ˆ=K代入感应电动势法公式可得∫∫−−∗∗′′−′−∂∂+′=LLLLzdzdzzzzkzkzfzfIIP|||)|sin()11)(()(822200πωμ考虑到)cossin(4sin203cos)(uuuudezzjk−=∫′−−θθπθ)cossin(2|||)|sin()11(2222uuuukzzzzkzk−=′−′−∂∂+式中)(zzku