直角三角形的判断

直角三角形的判定古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗?图14.1.10探索试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：(1)a＝3，b＝4，c＝5；(2)a＝4，b＝6，c＝8；(3)a＝6，b＝8，c＝10．可以发现，其中按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，而按(2)所画的不是直角三角形．你画的三角形如何?(1)、(3)两组都满足而组(2)不满足．222cba勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系：那么这个三角形是直角三角形．222cba古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗?图14.1.10探索古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足：，所以其中一个角是直角．222543例3设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9．解：（1）因为2224757649625225而62522225247即.25247角形为边的三角形是直角三所以，，例3设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9．解：（2）因为22351212251441369237而1369222373512即.373512角形为边的三角形是直角三所以，，例3设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9．解：（3）因为2211912181202213而16922213119即.91113三角形为边的三角形不是直角所以，，练习（P54）1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角．（1）12，16，20；（2）8，12，15；（3）5，6，8．练习（P54）2.有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?ABC（1）直角三角形的定义（3）勾股定理的逆定理（2）两个角的和等于90°如说明∠C=90°222ABBCAC要证如说明∠A+∠B=90°6.试判断以如下的a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一条边所对的角是直角?（1）a＝25，b＝20，c＝15；（2）a＝1，b＝2，c＝；（3）a＝40，b＝9，c＝40；（4）a∶b∶c＝5∶12∶13．课外作业(P55)3满足的三个，称为勾股数。222cba正整数你能写出常用的勾股数3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25•約公元前1700年，巴比倫人經已發現了此定理！巴比倫泥板「普林頓322號」•请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。abc111222000111111999111666999333444555666333333666777444888222555444888000000444666000111666666444999111333555000000111222777000999111888555444111777222666555999777333666000333111999444888111222777000000222222999111333555444111999666000777999999111222444999666000000444888111777666999666444888000444999666111888111666111666000444555777555222444000000111666777999222999222999222444000111666111222888999222777000000111777777111333222222999999000555666111000666a2b2c2111444444000000111444111666111222888555666111111111999444333999333666111111333333666666888999222333222888000666222555222333000444000000000000222111111666999222000111444444222000999222000111111888222222555000000000000111666111555111888666888111333444333777666888666888111555111888444444222222555999444000999111222999666000000111000111777666111222333111333666111777222999000000000000555222444888666888111111222555333888666888111999222111666000000666333888444000111111555666000000000111333666000000000000222333111333666111555999111333666111444111999999000444000000222444666111111555222111666666666000111999222111333666000000222000222555555666222555555777666000000000000222888111666000444111888555777999000444111555777666000000222555999222111888333555222111777222999000000000000333111333666444444111111000444222666444444111888111000000333111333666111111222333666勾股数•满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数）•毕达哥拉斯学派明确地给出了勾股数的一组公式：一组勾股数的正整数解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特点是斜边与其中一股的差为1。•古希腊学者柏拉图（Plato,约前427－前347）也给了另一组公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此时斜边与其中一股之差为2。•我国古代数学巨著《九章算术》中,也提出了一组求勾股数的式子,这组式子相当于：任意给定两个正整数m，n(m＞n)，那么这三个正整数就是一个整勾股数组。•公元3世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论。•被誉为“代数学鼻祖”的数学家丢番图（Diophantus,约330－246）全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2，其中m，n（mn）是互质且一奇一偶的任意正整数。•1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前l600年之间。观察下列表格：列举猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b=，c=勾股小常识：勾股数1、a²+b²=c²，满足(a,b,c)=1则a,b,c,为基本勾数如：3、4、5;5、12、13;7、24、25……2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15……3、若a,b,c是一组基本的勾股数，则a,b,c不能同时为奇数或同时为偶数4、一组勾股数中必有一个数是5倍数5、2mn,m²-n²,m²+n²为勾股数组，mn﹥0,m,n一奇一偶请找出１到50(包括50)的自然数中的数．共有几组？说说你的方法？勾股定理的推广：•费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家)•广勾股定理除了三元二次方程x2+y2=z2（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外，其他的三元n次方程xn+yn=zn（n为已知正整数，且n＞2）都不可能有正整数解。(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．7.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADE=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ACBD1.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=()ADC64492.由四根木棒，长度分别为3，4，5，6若去其中三根木棒组呈三角形，有()中取法，其中，能构成直角三角形的是（）说一说1.如图，∠A=∠D=90O，AB=CD=12cm,AD=BC=25cm,E是AD上一点，且AE：ED=16：9。试判断∠BEC是直角，并说明理由。ABCDE练一练直角三角形三边上的等边三角形的面积之间有什么关系？ABCDEF想一想图1图2。？CPBPAPABAP，，BCAC，C，ABABC试说明理由吗连结上任意一点是中22△如图1，分析：由结论中的平方能联想到什么？勾股定理适用于直角三角形，构造直角三角形是关键。如何构造呢？勾股定理的复习ARCPQB一、勾股定理的发现勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。二、勾股定理的证明ccaabbccaabbbacＣccaabb（一）（二）（三）三、勾股定理的应用1.已知：直角△ABC中，∠C=90°，若a=3,b=4,求c的值。（一）直接运用勾股定理求边若c-a=2,b=6，求c的值三、勾股定理的应用3.已知直角三角形的两条直角边为6cm和8cm,则斜边上的高是。4.8cm（一）直接运用勾股定理求边4、若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x=_____．2012或三、勾股定理的应用（二）先构造，再运用ABC5561、如图，求△ABC的面积D2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？8m2m8mABCDE四、勾股定理的逆定理若一个三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则这个三角形为直角三角形。已知在△ABC中，AC＝10cm，BC＝24cm，AB＝26cm，试说明△ABC是直角三角形。ABC102624五、勾股定理的综合运用勾股定理与其逆定理综合的问题1.如图，在四边形ABCD中，∠B=AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的面积。ABDC90◦网格问题ABC如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC三边的大小关系？如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积．ABCDoAABD最短路程问题C一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，试求出爬行的最短路程。（精确到0.1）43O折叠问题1、矩形纸片ＡＢＣD中，ＡD＝4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？ABCDEF（B）（C）折叠图问题2、如图，在矩形ＡＢＣD中，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，ＡＢ＝8cm，CE=3cm，求BF的长度