数据包络分析DEA

数据包络分析-DEADEA【例】某银行的4个分理处的投入产出情况如所示。要求分别确定各分理处运行的相对有效性分处理投入产出职员数营业面积储蓄存取贷款中间业务分理处11514018002001600分理处22013010003501000分理处3211208004501300分理处4201359004201500【例】某地区为了优化产业结构，对该地区的建筑、食品、纺织、医药、电子和房地产产业进行分析，确定相对优势的产业，为制定地区产业发展战略服务。序号指标行业投入指标产出指标固定资产投资x1劳动力用量x2流动资产占用x3利税额y1增加值y21建筑8124125608420357369702食品606152304320351058703纺织1013042605820421091204医药2034223101256012680216805电子2056112101351021760432506房地产4632179012640792021320由上表可以看出，该问题分析的难点在于各分析评价对象在输出和输入指标上的差异很大，而且各项输入指标和输出指标之间也不是相互独立的，因此不能先用AHP法等确定权重。DEA给出了科学的评价方法和思路。数据包络分析（DataEnvelopmentAnalysis,DEA)是著名运筹学家A.Charens,W.W.Cooper和E.Rhodes于1978年开发的评价决策单元相对有效性的多目标分析评价方法。该方法是将评价决策单元的指标分成“输入类”指标和“输出类”指标，通过计算各单元的输入与输出之比，判断其相对有效性的一种方法。1、数据包络分析-DEA决策单元：在经济和管理领域，常常需要对具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或者时期称为DMU评价依据是评价单元的一组投入和产出指标数据2、DEA基本模型第一个DEA模型C2R，评价多投入多产出部门的规模有效性和技术有效性是卓有成效的，DEA已经成为管理科学与工程领域一种重要而有效的分析工具。2.1基本C2R模型基本原理：设有n个决策单元，每个决策单元均有m个输入指标和k个输出指标，记第j个决策单元的第i个输入指标为xij,第j个决策单元的第k个输出指标为ykj，vi为第i个输入指标的权重，ui为第i个输出指标的权重，且xij0,ykj0,vi,ui≥0,初始数据见表Xij和ykj是向量xj=(x1j,x2j,…xmj)和yj=（y1j,y2j,…ykj)T中的分量，可以根据历史资料、统计数据和预测计算得到。设输入指标和输出指标的权数向量分别为V=(v1,v2,….vm)TU=(u1,u2,….uk)T表：决策单元输入权重12…….nV1x11x12…….x1nV2…….X2n…….vmxm1…….xmn输出权重y11…….y1nU1…….U2…….yk1…….yknuk(j=1,2…n)为第j单元输入的综合评价指标；为第j单元输出的综合评价指标；每个决策单元DMUj都有相应的效率评价指标iijixvijyiiuHj=iijixvijyiiu由此定义有:(1)总可以适当的选取u，v，使hj≦1；(2)粗略的说，对于决策单元DMUj0，hj0越大表明DMUj0能够用相对较少的输入得到相对较多的输出。要评价第j0个评价单元相对有效性，需建立评价系统的C2R模型。设第j0个评价单元的投入向量和产出向量分别为x0=(x1j0,x2j0,…xmj0)T和y0=（y1j0,y2j0,…ykj0)T效率指标h0=hj0在效率评价指标hj≦1（j=1,2,…,n)的约束条件下，选择一组最优权系数u,v使h0达到最大值。构造最优化模型：),...2,1(0),...2,1(0),...2,1(1..max1111000krumivnjxvyutsxvyuhrimiijikrrjrmiijikrrjr用矩阵表示为：.0,0,0,0,,,2,1,1max000vuvunjxvyuhxvyujTjTTT该规划为分式规划令,,,010utvtxvtT.0,0,1,,,2,1,0max000xnjyxhyTjTjTTDEA有效:最优目标值h0=1．DEA有效:若存在最优解ω0,μ0满足ω00,μ00，h0=μ0y0=1．2.2、C2R模型的应用对建筑业的线性规划模型为0,,,,18420125608124021320792012640179046320432502176013510121020561021680126801256023102034209120421058204260101300587035104320523060610697035738420125608124..69703573max2132132121321213212132121321213212132121tsV其他行业的模型可仿此建立，共需针对六个行业，建立六个模型。六个模型的求解结果为：电子、房地产业的最优值为1，为DEA有效；建筑、食品、纺织、医药行业的最优值小于1，为DEA无效。DEA无效的含义是与其他行业相比，本行业投入的综合评价为1时，最大产出小于1.说明该行业效率较低，需进一步研究内部管理是否有问题和是否适应本地条件等问题。DEA有效说明与其他行业相比，本行业投入的综合评价为1时，最大产出等于1.投入与产出是较匹配，效率较高的。3、DEA有效的经济意义数据包络分析是可根据一组相同类型部门或单位的输入输出观察值来估计有效生产前沿面，并判断被评价单元（样本点）是否位于有效生产前沿面上。这里的生产前沿面，指经由观察到的被评价单元（样本点）的生产活动信息所得到的经验性的生产前沿面，是被评价单元（样本点）观察值的包络面的一部分。数据包络分析的本质是利用统计数据确定相对有效的生产前沿面，利用生产前沿面的理论和方法，建立非参数的最优化模型，研究相同类型部门间的效率差异。根据DEA的原理，DEA有效的DMU在每个投入指标和每个产出指标乘以一个加权系数后，其产出加权和投入加权和之比是最大的，因为所有的其他DMU用样的加权系数算出这一比值都不会超过1.实际上，可以把这样的投入产出关系认为是生产函数上的一个点，由不同规模上DEA有效的投入产出关系就能得到完整的生产函数。生产函数B*BAyx生产函数上的B*点为技术有效性，弱有效性。A点为规模有效性和技术有效性，有效性。生产可能集满足凸性、锥性、无效性、最小性生产前沿面图（单指标投入和产出）投入量产出量生产前沿面生产可能集AB如果是多投入指标和多产出指标，DEA有效的所有决策单元不能落到一条曲线上，而是形成一个超平面，它是生产函数的扩展，DEA方法称之为生产前沿面。用距离函数测量生产单位与生产前沿面的距离，既可以沿着产出增加方向也可以沿着投入减少方向进行效率改善。有效的决策单元决定了生产可能集的前沿面4、多目标决策的发展趋势：在实际生产和生活中，对一事物的决策不能仅仅依靠一个指标，而必须同时考核多种目标。AHP是一种确定权数的方法，也是一种依据权数进行决策的多目标决策方法。4.1AHP的特点：将人们的思维过程数学化、模型化、系统化、规范化，便于人们接受。用它进行决策，输入的信息主要是决策者的选择和判断，决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识，多数情况下，决策者可以直接用AHP进行决策，大大增加了决策的有效性。当决策者的判断过多的受到主观偏好的影响而产生某种对客观规律的扭曲时，结果就靠不住了。所以，AHP一般仅用于方案选优4.2DEA的特点：完全基于指数指标数据的客观信息进行评价，剔除了人为因素带来的误差。只表明评价单元的相对发展指标，无法表示出实际发展水平。每一种评价方法有各自的优缺点，都是从不同的角度对被评价对象做出的估计，如果采用一种方法进行评价，其结果的可信性就值得怀疑。选择何种评价方法带有强烈的主观偏好5、当前评价热点-综合集成综合集成的方法，是采用综合集成的思想，将两种或两种以上的方法加以改造并结合,获得一种新的评估方法。【例】AHP与DEA的集成AHP法的判断矩阵是有评价者或专家给定的，因此其一致性必然受到有关人员的知识结构、判断水平及个人偏好等诸多主观因素的影响。DEA各决策单元的输入输出数据指标的权重为变量，使各指标的权重不受主观因素的影响。结合二者的权重可以得到加权综合权重，有决策者根据个人偏好决定权系数。【例】基于群决策的偏好约束DEA在DEA模型中加附加权的约束，并考虑群组偏好信息。DEA模型中的权重分解为主观权重与客观权重，客观权重即原始DEA模型中所体现出的权重，主观权重即关于输入、输出指标的偏好信息，由不同决策者或专家根据各自的偏好分别给出，这些偏好信息的形式可以相同，也可以不同，然后将不同形式的偏好信息一致化后集结成群组的偏好。再将这种反映权重的主观偏好信息和客观统计信息进行集成，在此基础上构造出新模型中的偏好约束。