数系的扩充和复数的概念教案2-人教课标版(精美教案)

数系的扩充和复数的概念教学目标重点:复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性;理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i及i与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i和复数形式的合理性,以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用.教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用,经历由实数系扩充到复数系的研究过程,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点:如何运用实数与虚数单位i的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件.考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题.易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握.拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、引入新课求下列方程的解:(1)24x2(2)40x(3)310x2(4)20x2(5)10x．学生分析各题的解:(1)2x;(2)22xx或;1(3)3x;(4)22xx或;(5)实数集内无解.通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2,就可以解决方程220x在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集,今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”.【设计意图】通过类比,易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数,是数学中的基本概念.到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系?用图示法可以如何表示?答:自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N,Z,Q,R;其中它们之间的关系式:NZQR;用文氏图表示N,Z,Q,R的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾,特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系.如:自然数系、整数系、有理数系、NZQR实数系.所谓“运算及结构”主要是指加法与乘法的运算律.无论在哪个数系内,都满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.【设计意图】教材中“数系”的概念并未作过多说明,将其提前至开头,主要是解决课题中“数系”两个字的疑问,而“扩充”则成为下面研究的重点.2.从社会进步的角度来看数的发展问题2:今天的课题是什么?从刚才这张“图示法”表示数集之间包含关系的图中也可以看出数逐步发展壮大的过程.数的概念是如何不断的发展和扩充的呢?下面跟大家一起作简单回顾．最基本的数是自然数,它是全部数学的发源地,自然数的产生当初完全是古人为了计数的需要;之后,在土地测量,水利工程中发现仅有自然数显然是不够的,经常发生度量不尽的情况,于是产生了正分数,数的概念扩充到正有理数.为了刻画具有相反意义的量产生了负数,我国是认识负数最早的国家.数的概念再次扩充到有理数;古希腊人在研究正方形的边长与对角线长之间关系时,发现产生了无理数,数的概念扩充到实数.正是因为计数、度量、测量等这些原因使得数的概念经历从无到有,从有到壮大的过程.问题3:由此看来,什么原因导致数的概念逐步扩充的?答:实际需求.【设计意图】从社会进步的角度来看数的发展,一方面让学生感受数与现实世界的联系,感悟数的概念产生于实际需求,另一方面培养学生总结、归纳概括的能力.3.从求解方程的角度来看数的发展问题4:方程04x的解是什么?方程210x的解呢?学生必答“4”和“无解”,下面可以如此设计:对于方程04x,在自然数集中,解的情况如何?原因是什么?为此引入负数,数集扩充到整数集.在整数集中,方程320x无解,怎么办?引入分数,数集扩充到有理数集.在有理数集中,方程220x无解,为此引入无理数,数集扩充到实数集.从使得方程有解的角度来看,每一次数的概念的扩充有什么特征?答:新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的.思考:如何使方程012x有解呢?我们需要添加什么量呢?【设计意图】从求解方程的角度来看数的发展,自然地引出了实数系还需扩充的话题.通过一个简单方程解的情况的“陷阱”,培养学生严谨的科学态度,同时通过如何使一系列方程解问题的“诱导”,使学生不断受到数的概念扩充的“基本特征”的冲击,形成思维定势,从而使引入一个新数i使方程012x有解的方法水到渠成,自然给出“虚数单位”的第一个“规定”.4.从运算角度来看数的发展解方程离不开数与数之间的运算,没有运算的话,数不过是一些符号而已,毫无意义.下面我们再从运算的角度再来看一下每一次数的概念的扩充又有什么特征.所谓运算主要指加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算.在自然数集中,加法和乘法总可以实施,乘方是乘法特殊情况也是可行的.但是,由于小数不能减大数.在整数集中,自然数集原有的三种运算固然可以进行,同时又解决了在自然数集减法不是总可以实施的问题.在有理数集中,整数集中原有运算仍然适用,同时又解决了除法只能整除问题,使得除法总可以实施了,当然除数不为0.在实数集中,有理数集的运算也都可以实施,还解决了开方的结果可能不是有理数的问题,当然只能是正数的开方问题.问题5:从运算角度来看,数系是在按某种“规则”不断扩充的.请问是何种规律?答:在新的数系中,原有的运算及其性质仍然适用,同时解决了某些运算在原来数系中不是总可以实施的矛盾.【设计意图】从运算的角度来看数的发展,说明了数系在每一次扩充时,原有的运算及性质保持不变.5.我们规定:(1)虚数单位i:①它的平方等于1,即2i1;②实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时原有加、乘运算律仍然成立.依照这种规定,i可以与实数b相乘,得ib(iibb,特别地0i0);ib还可以和实数a相加得iab(ii+)abba.于是出现了形如iab的数(其中,abR).(2)复数的定义:形如i(,)ababR的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,i叫做虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.特别强调:复数的实部与虚部都是实数.【设计意图】通过对数与数之间的运算特征的研究与归纳,建立复数的基本概念.(3)复数的代数形式:复数通常用小写英文字母z表示,即i(,)zababR.i(,)ababR的形式叫做复数的代数形式.(4)复数与实数、虚数、纯虚数的关系:i(,)0,0)0)0,0)bzababbabbaR实数(=0)复数一般虚数(虚数(纯虚数((5)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果,,,abcdR,那么ii,abcdabcd.复数相等的定义是求复数值及在复数集中解方程的重要依据.一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如35i与43i不能比较大小.现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?答:不对.如果两个复数都是实数,就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.三、理解新知(1)i与1的关系:2i1,即方程21x的两个根为i和i.(2)i的周期性:4142434ii,i1,ii,i1nnnn.(3)复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:00(0)(0)i(,)(0)(0)abaazabababaR正实数()实数（=0）实数负实数复数纯虚数虚数（0）非纯虚数注意分清复数分类中的界限:设i(,)zababR,①0zbR;②z是虚数0b;③z是纯虚数00ab且;④000zab且．(4)复数所构成的集合叫做复数集,常用C表示,即i,,zzababCR.(5)复数集与其它数集之间的关系:NZQR．(6)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用右图表示.【设计意图】通过一系列概念介绍,加强学生对复数的认识,分清复数、实数、虚数、纯虚数之间的关系．四、运用新知题型一复数的概念例1下列三个命题:①不全为实数的两个复数不能比较大小;②若x,yC,则i1ixy的充要条件是1xy;③纯虚数相对复数集的补集是虚数集.其中真命题的个数.解:①不全为实数的两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.②由于x,y都是复数,故ixy不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件.③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知:所求补集就是非纯虚数集与实数集的并集.答案:1.例2请说出复数23i,13i2,1i3,35i的实部和虚部,有没有纯虚数?答:它们都是虚数,它们的实部分别是2,3,0,3;虚部分别是3,12,13,5;纯虚数是1i3.【设计意图】巩固复数的实部与虚部的概念,复数i(,)zababR的虚部仅指单独的实数b,不能含有i;仅由0a不能得到i(,)zababR是纯虚数.复数集实数集虚数集纯虚数集变式训练:写出复数23i,0,isinπ,2i,52i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?答:它们的实部分别是2,0,1,5,0;虚部分别是3,0,sinπ,0,2,6;实数是0,2i;虚数是23i,isinπ,52i,6i;纯虚数是isinπ,6i.题型二复数的分类例3实数m取什么值时,复数1(1)izmm是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.分析:因为mR,所以1m,1m都是实数.由复数i(,)zababR是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m的取值.解:(1)当10m,1m即时,复数z是实数;(2)当10m,1m即时,复数z是虚数;(3)当10m,10m且,1m即时,复数z是纯虚数.【设计意图】i(,)zababR是复数的基本定义,由a,b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数.在解题时,关键是确定复数的实部和虚部,特别要强调纯虚数的条件.变式训练:实数m取什么值时,复数226(215)i3mmzmmm是(1)实数(2)虚数(3)纯虚数.答:(1)5m;(2)53mm且;(3)32mm或.【设计意图】通过本例题及变式训练,使学生对复数的分类产生更加深刻的认识.特别是仅由0a不能得到i(,)zababR是纯虚数.题型三复数相等的充要条件例4已知x,y均是实数,且满足(21)i(3)ixyy,求xy与.解:由复数相等的充要条件得2113xyy解得324xy3,42xy.【设计意图】一般根据复数相等的充要条件,可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组,从而可确定两个独立参数,本题就是利用这一重要思想,化复数问题为实数问题得以解决,让学生体会、总结复数问题的一般的处理方法实数化.变式训练:适合3i(8)ixxy的实数x,y的值为.答:03xy且.【设计意图】提醒学生运用复数相等的概念解题时,相关字母是实数的条件不可缺少.五、课堂小结本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?1.知识:复数的代数形式,复数的实部、虚部,复数、实数、虚数、纯虚数的区别及联系,复数相等,内容涉及的概念较多,要一一分清,避免产生混淆．2.思想:数形结合的思想、等价转化思想、方程思想、分类讨论思想、特殊与一般的思想．【设计意图】加强对学生学习方法的指导,做到“精讲精练”．六、布置作业必做题:1.指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数,是虚数的找出其实部与虚部.23i3,84i,80i,6,i,(29i)(21),7i,0.2.设a,bR.“0a”是“复数iab为纯虚数”的()A.充分