2017年中考数学专题5《几何探究问题》

专题五几何探究问题第二部分考情搜索-2-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练考情搜索几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综合探索与证明以及几何动态问题等.这是中考对几何推理与证明能力考查的必然体现,重在提高学生对图形及性质的认识,训练学生的推理能力,解题时应注意演绎推理与合情推理的结合.全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作为中考的压轴题之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23题、2015年的第23题、第2014年的第23题、2013年的第23题等.预计2017年安徽中考中,这类问题仍是考查的重点之一,需重点复习.第二部分考情搜索-3-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练专题归纳几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何知识与代数知识有机结合起来,渗透数形结合思想,重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力.如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等,背景鲜活,具有实用性和创造性,在考查考生计算能力的同时,考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力,力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去.需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等来确定所需求的结论、条件或方法,因而解题的策略是将其转化为封闭性问题.常用的解题策略:1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等;2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路;3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等;4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题.常见的不变结构及方法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找相似,转比例.第二部分考情搜索-4-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3题型1与全等三角形有关的探究典例1(2016·山东泰安)(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①),求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)第二部分考情搜索-5-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,由已知得△ABC和△ADF均为等边三角形,则AD=DF,利用AAS证明△DBE≌△CFD,得EB=DF,从而EB=AD;(2)作DF∥BC交AC的延长线于点F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(3)作DF∥BC交AC于点F,同(1)得:△DBE≌△CFD,得出EB=DF,证出△ADF是等腰直角三角形,得出DF=AD,即可得出结果.第二部分考情搜索-6-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3【答案】(1)作DF∥BC交AC于点F,如图1所示.∴∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,∴AD=DF,∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.在△DBE和△CFD中,第二部分考情搜索-7-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3(2)EB=AD成立.理由如下:作DF∥BC交AC的延长线于点F,如图2所示.由(1)得AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.∴在△DBE和△CFD中,第二部分考情搜索-8-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3(3).理由如下:作DF∥BC交AC于点F,如图3所示:同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直角三角形,∴DF=.第二部分考情搜索-9-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3题型2与相似三角形有关的探究典例2(2016·内蒙古包头)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分别是AC,AB边上的点,连接EF.(1)如图1,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长.(2)如图2,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;②求EF的长.(3)如图3,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=,求的值.第二部分考情搜索-10-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3图1图2图3第二部分考情搜索-11-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3【解析】本题考查三角形综合题.(1)先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则易得S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长.(2)①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；②连接AM交EF于点O，设AE=x，先证明△CME∽△CBA，得到，求出CM长，再利用勾股定理得AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；(3)如图3，作FH⊥BC于点H，先证明△NCE∽△NHF，利用相似比得到FH:NH=4:7，设FH=4x，NH=7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可求出x=，进而求出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值.第二部分考情搜索-12-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3【答案】(1)如图1,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,∴S△AEF≌S△DEF,∵S四边形ECBF=3S△EDF,∴S△ABC=4S△AEF,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5,∵∠EAF=∠BAC,∴Rt△AEF∽Rt△ABC,∴,∴AE=.第二部分考情搜索-13-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:如图2,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点M处,∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,∵MF∥AC,∴∠AEF=∠MFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AE=EM=MF=AF,∴四边形AEMF为菱形.②连接AM交EF于点O,如图2,设AE=x,则EM=x,CE=4-x,∵四边形AEMF为菱形,∴EM∥AB,∴△CME∽△CBA,∴,第二部分考情搜索-14-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3在Rt△ACM中,AM=,∵S菱形AEMF=EF·AM=AE·CM,∴EF=2×.(3)如图3,作FH⊥BC于点H,∵EC∥FH,∴△NCE∽△NHF,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,∵FH∥AC,∴△BFH∽△BAC,∴CN∶NH=CE∶FH,即1∶NH=∶FH,∴FH∶NH=4∶7,第二部分考情搜索-15-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3∴BH∶BC=FH∶AC,即(4-7x)∶3=4x∶4,解得x=,∴FH=4x=,在Rt△BFH中,BF==2,∴AF=AB-BF=5-2=3,∴.第二部分考情搜索-16-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3题型3与全等和相似三角形有关的探究典例3(2016·湖北黄石)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC.(2)如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2.(3)如图3,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.图1图2图3第二部分考情搜索-17-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3【解析】本题考查轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质及勾股定理.(1)根据轴对称的性质可得∠DAE=∠FAE,AD=AF,再得出∠BAC=∠DAF,然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得以证明;(2)根据轴对称的性质可得EF=DE,AD=AF,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用边角边证明△ABD和△ACF全等,根据全等三角形性质可得CF=BD,∠ACF=∠ABD,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理证明即可;(3)作点D关于AE的对称点F,连接AF,EF,CF,根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,再结合(2)即可.第二部分考情搜索-18-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3【答案】(1)∵D,F关于直线AE对称,∴DE=EF,①∠DAE=∠FAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,又∵AB=AC,AD=AF,∴△ADF∽△ABC.(2)∵∠DAF=2α=∠BAC,∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF,又AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,②且∠ACF=∠ABD=45°,即∠ECF=90°,在△ECF中,结合已证明的①②得DE2=BD2+CE2.第二部分考情搜索-19-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3(3)解法1:将△CAE顺时针旋转90°得△BAF,连接DF,如图2所示.∴BF=CE,③AF=AE,∵∠ACE=135°=∠ABF,∠ABC=45°,∴∠FBD=90°,即DF2=BF2+BD2,④由旋转的性质,∠BAF=∠CAE,∴∠BAF+∠FAC=∠CAE+∠FAC=2α,∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α,AF=AE,又∵AD为公共边,∴△DAF≌△DAE,即DF=DE.⑤将③⑤代入④式,得DE2=BD2+CE2.第二部分考情搜索-20-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练典例精析题型2题型1题型3解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接AF,EF,CF,如图3所示.∴AD=AF,DE=EF,⑥∠DAE=∠FAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,即∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,∴∠BAD=∠CAF.又∵AB=AC,AD=AF.∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,⑦且∠ACF=∠ABD=45°,∴∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°,∴CF⊥CE,∴EF2=FC2+CE2,将⑥⑦代入得DE2=BD2+CE2.第二部分考情搜索-21-专题归纳典例精析专题五几何探究问题针对训练针对训练213456781.(1)问题发现如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC的延长线上,连接CE,请填空:①∠ACE的度数为;②线段AC,CD,CE之间的数量关系为.(2)拓展探究如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D在边BC的延长线上,连接CE,请判断∠ACE的度数及线段AC,CD,CE