2017年中考数学压轴题辅导(十大类型-)2017.03.31

第1页（共15页）2017年中考数学压轴题辅导（十大类型）2017.03.31数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重第2页（共15页）要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。一、动点型问题：例1．（基础题）如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．（1）求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；（2）若线段AD上有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线于F，当线段EF取得最大值时，求点E的坐标．二．几何图形的变换（平移、旋转、翻折）例2．（辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线．．OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．三．相似与三角函数问题2OABCxy113PQ第3页（共15页）例3．（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．四．三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）例4．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．五、与四边形有关的二次函数问题例5．（内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－21，23），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，33），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′CDOBAyx图①PDECOABFxy图②PDCOABFxyEF第4页（共15页）是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．六、初中数学中的最值问题例6．（2014•海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．七、定值的问题例7．（湖南省株洲市）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC＋EC)为定值．八、存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）例8、(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，(00)O，，(60)A，，yxFAODBPCEQCB′D第5页（共15页）(03)C，．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OPOQ，；（2）当1t时，如图1，将OPQ△沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（1）连结AC，将OPQ△沿PQ翻折，得到EPQ△，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．九、与圆有关的二次函数综合题：例9.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其顶点为D，且直线DC的解析式为y=x+3．（1）求二次函数的解析式；（2）求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；（3）若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值．十、其它（如新定义型题、面积问题等）：第6页（共15页）例10.定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y=x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1=d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或B．或C．或D．第7页（共15页）2017年中考数学压轴题辅导（十大类型）答案解析例1．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据x等于零时，可得C点坐标，根据y等于零时，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得直线BC的斜率，根据平行线的斜率相等，可得平行BC的直线的斜率，根据直线与抛物线有一个交点，可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根，可得判别式等于零；（2）根据待定系数法，可得直线AD的解析式，根据E点在线段AB上，可设出E点坐标，根据EF∥y轴，F在抛物线上，可得F点的坐标，根据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数性质，可得答案．【解答】解：（1）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，即A（﹣1，0），B（3，0）．当x=0时，y=﹣3，即C（0，﹣3）．设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过点B，点C，得：，解得，设平行于BC且与抛物线只有一个交点的直线解析式为y=x+b，由题意，得：，②﹣①，得：x2﹣3x﹣3﹣b=0，只有一个交点，得：△=（﹣3）2﹣4×（﹣b﹣3）=0，解得b=﹣，与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式y=x﹣；（2）y=x2﹣2x﹣3，当x=﹣=﹣=1时，y===﹣4，即D（1，﹣4），设直线AD的解析式是y=kx+b，AD的图象过点A、D，得，解得，直线AD的解析式是y=﹣2x﹣2，线段AD上有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线于F，设E点坐标是（x，﹣2x﹣2），F点坐标是（x，x2﹣2x﹣3），﹣1≤x≤1，EF的长是：y=（﹣2x﹣2）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+1。当x=0时，EF最大=1，即点E的坐标是（0，﹣2），当线段EF取得最大值时，点E的坐标是（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数的综合题，利用了直线与抛物线相切，利用了一元二次方程的判别式，两点间的距离公式，二次函数的性质，综合性较强．例2.【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式．（2）求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式．（3）根