信息论和编码陈运主编答案解析(完整版)

专业整理WORD完美格式信息论与编码课后习题答案详解2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0,1,2,3}八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0,1,2,3,4,5,6,7}二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0,1}假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量HX(1)=logn=log4=2bitsymbol/八进制脉冲的平均信息量HX(2)=logn=log8=3bitsymbol/二进制脉冲的平均信息量HX(0)=logn=log2=1bitsymbol/所以：四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。2.2居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量X代表女孩子学历Xx1（是大学生）x2（不是大学生）P(X)0.250.75设随机变量Y代表女孩子身高Yy1（身高160cm）y2（身高160cm）P(Y)0.50.5已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：py(1/x1)=0.75bit求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量pxpy(1)(1/x1)log0.25×0.75=1.415bit即：Ix(1/y1)=−logpx(1/y1)=−log=−py(1)0.52.3一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问(1)任一特定排列所给出的信息量是多少？专业整理WORD完美格式(2)若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？解：(1)52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：px(i)=Ix(i)=−logpx(i)=log52!=225.581bit(2)52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：413px(i)=C5213413Ix(i)=−logpx(i)=−logC5213=13.208bit2.4设离散无记忆信源⎢⎡⎣PX(X)⎥⎦⎤=⎨⎩⎧x31/=80x2=1x3=2x4=3⎫⎬，其发出的信息为1/41/41/8⎭(202120130213001203210110321010021032011223210)，求(1)此消息的自信息量是多少？(2)此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：(1)此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：p=⎛⎜3⎞⎟14×⎛⎜1⎞⎟25×⎛⎜1⎞⎟6⎝8⎠⎝4⎠⎝8⎠此消息的信息量是：I=−logp=87.811bit(2)此消息中平均每符号携带的信息量是：In/=87.811/45=1.951bit2.5从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？解：男士：px(Y)=7%专业整理WORD完美格式Ix(Y)=−logpx(Y)=−log0.07=3.837bitpx(N)=93%Ix(N)=−logpx(N)=−log0.93=0.105bitHX()px()logpx()(0.07log0.070.93log0.93)0.366bitsymbol/i女士：HX()px()logpx()(0.005log0.0050.995log0.995)0.045bitsymbol/⎢PX()⎥⎦⎨⎩0.20.190.180.170.160.17⎬⎭⎣H(X)log6不满足信源熵的极值性。解：HXpxpxi=−(0.2log0.2+0.19log0.19+0.18log0.18+0.17log0.17+0.16log0.16+0.17log0.17)=2.657bitsymbol/HX()log62=2.585不满足极值性的原因是。i2.7证明：H(X3/X1X2)≤H(X3/X1)，并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。证明：HX(3/XX12)−HX(3/X1)=−∑∑∑pxxx(i1i2i3)logpx(i3/xxi1i2)+∑∑pxx(i1i3)logpx(i3/xi1)i1i2i3i1i3=−∑∑∑pxxx(i1i2i3)logpx(i3/xxi1i2)+∑∑∑pxxx(i1i2i3)logpx(i3/xi1)i⎡X⎤⎧x2.6设信源=1x2x3x4x5x6⎫，求这个信源的熵，并解释为什么专业整理WORD完美格式i1i2i3i1i2i3px(i3/xi1)=∑∑∑i1i2i3pxxx(i1i2i3)logpx(i3/xxi1i2)⎛px(i3/xi1)1⎞⎟⎟log2e≤∑∑∑i1i2i3pxxx(i1i2i3)⎜⎜⎝px(i3/xxi1i2)−⎠=⎜⎛∑∑∑pxx(i1i2)(pxi3/xi1)−∑∑∑pxxx(i1i2i3)⎞⎟log2e⎝i1i2i3i1i2i3⎠⎛⎡⎤⎞=⎜⎜∑∑pxx(i1i2)⎢∑px(i3/xi1)⎥−1⎟⎟log2e⎝i1i2⎣i3⎦⎠=0∴HX(3/XX12)≤HX(3/X1)px(i3/xi1)10时等式等等当−=px(i3/xxi12i)⇒px(i3/xi1)=px(i3/xxi12i)⇒pxx(i12i)(pxi3/xi1)=px(i3/xxi12i)(pxxi12i)⇒px(i1)(pxi2/xi1)(pxi3/xi1)=pxxx(i123ii)⇒px(i2/xi1)(pxi3/xi1)=pxx(i23i/xi1)∴等式等等的等等是X1,X2,X3是马氏链_2.8证明：H(X1X2。。。Xn)≤H(X1)+H(X2)+…+H(Xn)。证明：HXX(12...Xn)=HX(1)+HX(2/X1)+HX(3/XX12)+...+HX(n/XX12...Xn−1)IX(2;X1)≥0⇒HX(2)≥HX(2/X1)IX(3;XX12)≥0⇒HX(3)≥HX(3/XX12)...IX(N;XX12...Xn−1)≥0⇒HX(N)≥HX(N/XX12...Xn−1)专业整理WORD完美格式∴HXX(12...Xn)≤HX(1)+HX(2)+HX(3)++...HX(n)2.9设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0)=0.4，P(1)=0.6的概率发出符号。(1)试问这个信源是否是平稳的？(2)试计算H(X2),H(X3/X1X2)及H∞；(3)试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。解：(1)这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……”(2)HX(2)=2HX()=−2×(0.4log0.4+0.6log0.6)=1.942bitsymbol/HX(3/XX12)=HX(3)=−∑px(i)logpx(i)=−(0.4log0.4+0.6log0.6)=0.971bitsymbol/iH∞=limHX(N/XX12...XN−1)=HX(N)=0.971bitsymbol/N−∞(3)HX(4)=4HX()=−4×(0.4log0.4+0.6log0.6)=3.884bitsymbol/X4的所有符号：00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011112.10一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为{0,1,2}。(1)求平稳后信源的概率分布；(2)求信源的熵H∞。专业整理WORD完美格式解：(1)⎧pe(1)=pepe(1)(1/e1)+pe(2)(pe1/e2)⎪⎨pe(2)=pe(2)(pe2/e2)+pe(3)(pe2/e3)⎪⎩pe(3)=pe(3)(pe3/e3)+pepe(1)(3/e1)⎧pe(1)=ppe⋅(1)+ppe⋅(2)⎪⎪⎨pe(2)=ppe⋅(2)+ppe⋅(3)⎪⎪⎩pe(3)=ppe⋅(3)+ppe⋅(1)⎧pe(1)=pe(2)=pe(3)⎨⎩pe(1)+pe(2)+pe(3)=1⎧pe(1)=1/3⎪⎨pe(2)=1/3⎪⎩pe(3)=1/3⎧px(1)=pe(1)(px1/e1)+pe(2)(px1/e2)=ppe⋅(1)+ppe⋅(2)=(p+p)/3=1/3⎪⎪⎨px(2)=pe(2)(px2/e2)+pe(3)(px2/e3)=ppe⋅(2)+ppe⋅(3)=(p+p)/3=1/3⎪⎪⎩px(3)=pe(3)(px3/e3)+pepx(1)(3/e1)=ppe⋅(3)+ppe⋅(1)=(p+p)/3=1/3⎡X⎤⎧012⎫专业整理WORD完美格式pppppplog1log1log1log1log1log131⎢⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++=−+⋅⎢PX()⎥⎦=⎨⎩1/31/31/3⎬⎭⎣(2)Hpepe()(/e)logpe(j/ei)ij=−⎡⎢13pe(1/e1)logpe(1/e1)+13pe(2/e1)logpe(2/e1)+13pe(3/e1)logpe(3/e1)⎣111⎤+3pe(/e)logpe(1/e3)+3pe(2/e3)logpe(2/e3)+3pe(3/e3)logpe(3/e3)⎦⎥33pp3pp33pp3⎤⎥⎦⎣=−(p⋅logp+p⋅logpbitsymbol)/2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑)=0.3，白色出现的概率为P(白)=0.7。(1)假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)；(2)假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白)=0.9，P(黑/白)=0.1，P(白/黑)=0.2，P(黑/黑)=0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X);(3)分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H2(X)的大小，并说明其物理含义。解：(1)HX()=−∑px(i)logpx(i)=−(0.3log0.3+0.7log0.7)=0.881bitsymbol/i(2)专业整理WORD完美格式⎧pe(1)=pepe(1)(1/e1)+pe(2)(pe1/e2)⎨⎩pe(2)=pe(2)(pe2/e2)+pepe(1)(2/e1)⎧pe(1)=0.8(pe1)+0.1(pe2)⎨⎩pe(2)=0.9(pe2)+0.2(pe1)⎧pe(2)=2(pe1)⎨⎩pe(1)+pe(2)=1⎧pe(1)=1/3⎨⎩pe(2)=2/3H∞=−∑∑pepe(i)(j/ei)logpe(j/ei)ij=−⎛⎜1×0.8log0.8+1×0.2log0.2+2×0.1log0.1+2×0.9log0.9⎞⎟⎝3333⎠0.553=bitsymbol/(3)η1=H0−H∞=log2−0.881=11.9%H0log244.7%H(X)H2(X)表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。2.12同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1)“3和5同时出现”这事件的自信息；(2)“两个1同时出现”这事件的自信息；(3)两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；(4)两个点数之和（即2,3,…,12构成的子集）的熵；(5)两个点数中至少有一个是1的自信息量。解：(1)专业整理WORD完美格式px(i)=×+×=Ix(i)=−logpx(i)=−log=4.170bit(2)px(i)=×=Ix(i)=−logpx(i)=−log=5.170bit(3)两个点数的排列如下：11121314151621222324252631323334353641424344454651