人教版--解直角三角形知识点总结与例题

知识点总结：一、锐角三角函数的定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.同角三角函数间的关系平方关系：tanα=sinα/cosα，sin2α+cos2α=1·积的关系：·倒数关系：tanα·cotα=1；sinα·cscα=1；cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,当角度在0°α90°间变化时，tanα0,cotα0.特殊的三角函数值二、解直角三角形勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等.直角三角形的特征⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．锐角三角函数的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,则sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab,解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）⑴三边之间的关系：a2+b2=c2．⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．．⑶边角之间的关系：sinA=Aac的对边＝斜边,cosA=Abc的邻边＝斜边．tanA=AaAb的对边＝的邻边,cotA=AbAa的邻边＝的对边．⑷解直角三角形中常见类型：①
知一边一锐角．②已知两边．③解直角三角形的应用．三、例题讲解：选择题1.已知A是锐角，且21sinA，那么Atan（）A．22B.23C．33D．32.若把一个直角三角形的两条直角边都扩大n倍，（n是大于1的自然数），则两个锐角的三角函数值（）A．都变大为原来的n倍B．都缩小为原来的n1C．不变化D．各个函数值变化不一致3.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三ABCDABCacb角形的有（）①∠A+∠B=90°②222ABACBC③ACCDABBD④2CDADBDA.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④4、sinA=，∠A=()A.30°B.60°C.20°D.45°5、如图，在△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝A.35B.45C.34D.436.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的坡度i=1：3，则坡角的大小为（）A.60°B.30°C.45°D.无法确定填空题1.如图3，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=53,BC=5,则∠B=________度.2、课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图4，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度是___________米.（保留根号形式）3．一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（米）与时间t（秒）间的关系为2102stt，若滑到坡底的时间为4秒，则坡角的度数是0，此人下降的高度为米。4、计算：sin30°=_________.5．（1）002sin30cot45，（2）在△ABC中，∠C＝90°，如果5tan12A，那么cosB6、在RtABC△中，9032CABBC°，，，则cosA的值是7.已知,如下图，在RtABC△中，902,3BACACBD°，ADBC,则222ABACAD8.如图，一水库迎水坡AB的坡度1i︰3，则该坡的坡角=.9．如图：在Rt△ABC中，090C，030A，在AC上取一点D，使得CDBC，则sinABD．FEDCBA第16题图DBCA第17题图ACB60º30º解答题1、计算：221sin30cos45tan6032、(8分)已知：∠A是锐角，且3sin5A，求22tancotAA的值3、(8分)某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30º和60º，试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，：3≈1.732)．4、如图6，厦门海关缉私艇在点0出发现正北方向303海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，随即调整方向，按北偏东60°的方向追赶，准备在B处迎头拦截.问经过多少时间能赶上？缉私艇的速度为多少？（保留根号形式）（7分）5、（本题满分8分）我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？AB北O图6（参考数据：41.12，73.13）6、.(本题满分8分)如图，海上有一灯塔P，在它周围4千米内有暗礁，一艘轮船以每小时9千米的速度由东向西行驶，行至A处测得灯塔P在它的北偏西75，继续行驶一小时到达B处，又测得灯塔P在它的北偏西60，试问：若客轮不改变航向，是否有触礁的危险？（参考数据：26115sin,263215cos,32115tan,3215cot;4.12,7.13,4.26）075060y第9题图xABP北北7．(本题满分10分)如图，格点图中的每个小方格都是边长为1的正方形．在建立平面直角坐标系后，点A（-2，0），B（2，0）．(下列画图要求均为格点图形且不得超出已给格点图)（1）画出Rt△ABC，使得21tanCAB，并写出C点坐标___________；（2）把（1）中Rt△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为第22题图2：3，画出△CBA的图形;(3)是否存在点D，使得在Rt△ACD中满足21tanCAD，若存在，请写出D点坐标___________；若不存在，说明理由.xBAyO