高数同济版大一下学期期末复习

期末考试复习重点（1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的切平面（2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。（5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛幂级数的收敛域、求级数求和函数。（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面（1）设,0:DCzByAxpzznyymxxL000:则//L0CpBnAm上在LLpCnBmA,||sin222222pnmCBACpBnAm,20,0CpBnAm),,(000zyxnsns//（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：I：曲面在某点处的切平面（1）设曲面方程为0),,(zyxF)),,(),,,(),,,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第一步：计算,,,zyxFFF第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程0000000000000))(,,())(,,())(,,(zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx（2）设曲面方程为),,(yxfz)),,,(),,((10000yxfyxfnyx第一步：取),(),,(yxfzzyxF第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程00000000)())(,())(,(zzyyyxfxxyxfyx10000000zzyxfyyyxfxxyx),(),(要点II：空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线的方程)(),(),(tztytx第一步：确定点,),,(0000tzyxM对应的参数第二步：计算))(),(),((000tttT第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程)()()(000000tzztyytxx0000000))(())(())((zztyytxxt（2）设空间曲线的方程,),(),(bxaxzxy))(),(,(001xxT例1：求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程.解设所求直线的方向向量为},,,{pnms根据题意知,1ns,2ns取21nns},1,3,4{.153243zyx所求直线的方程3、典型例题例2：设直线L和平面的方程分别为则必有（）,//)(LA,)(在上在LB,)(LC.)(斜交与LD解：),1,2,4(n1012231kjis,//sn,LC,031020123:zyxzyxL,0224:zyxkji71428)24(7kji例3：求曲面03222xyzyx0z上同时垂直于平面与平面解：取,3222xyzyxF),,,(000zyxM01yx的切平面方程。设切点为MzyxFFFn),,()2,2,2(00000zxyyx020z0)2()2(0000xyyx0300202020yxzyx),0,1,1(1M),0,1,1(2M),0,3,3(1n),0,3,3(2n,0)1(3)1(3:1yx,02yx,0)1(3)1(3:2yx,02yx例:(1)已知曲线32,,tztytx在点P处的切线平行于平面22zyx，求P点的坐标与设直线)1(221)2(zymx025363zyx平面与垂直，求m（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值（1）多元函数在某点的定义域、极限和连续要点：I：求二元函数在某点的极限1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则2、利用有界函数与无穷小乘积的性质3、利用变量对换化为一元函数极限4、利用夹逼准则与两个重要极限）的定义域为（例：函数yxz0,0yxA、0,yyxB、0,yyxC、0,0yxD、例：求下列函数的极限：11sinlim)1(00xyayxyx2322222200)(sinlim)2(yxyxyxyx2423200||lim)3(yxyxyxB11sinlim00xyayxyxxyxyayxyx)11(sinlim00ayxyayayx)11(sinlim00ayayay2sinlim0a2解：2322222200)(sinlimyxyxyxyx求极限,:22yx令,)0,0(),(时当yx,02322222200)(sinlimyxyxyxyx30sinlim203cos1lim6sinlim061解：42lim00yxyxyx求极限42lim00yxyxyx)42)(42()42(lim00yxyxyxyxyxyxyxyxyx)42(lim00)42(lim00yxyx)42(lim04)402(（1）多元函数的定义域、极限、连续要点：I：求二元函数在某点的极限2423200||limyxyxyx|,|2224yxyx因||2||||0223224232yxyxyxyx2||21y00（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值（1）多元函数的定义域、在某点的极限、连续要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0,),(),(0000xxxyxfdxdyxf,),(),(002200yyyyyxfdydyxf0),(),(000yyxxyyxfdydyxf（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值典型例题)1,(xf,sin2x例1：设,arcsin)1(sin),(2xyyxyxf)1,2(xf求解：,2cos2xxxf.4cos4)1,2(xf典型例题)0,(xz,arctanx例2：设,1arctanxyyxz)0,0(22)0,0(,xzxz求解：)0,0(xz0)0,(xxzdxd0arctanxxdxd11102xx)0,0(22xz022)0,(xxzdxd022arctanxxdxd02)11(xx022)1(2xxx0典型例题例3：设,)1ln(2yxz)1,1(2yxz求解：xz2212yxx)1,1(2yxz1)),1((yxyzdyd1)22(yy12)1(2yy92yxyz22),1(二元函数的连续性.,),(),,(000且为聚点设DyxPyxfz),,(),(lim0000yxfyxfyyxx若.),(),(000处连续点在则称yxPyxf要点：III：多元函数的连续性][0,00,),()1(222222yxyxyxxyyxf函数例：续、处处有极限，但不连、处处连续BA）外处处连续，、除（）连续，、仅在（0000DCA(2)讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．例：讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取,kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．)0,0(),(),(,0xkxyxx时当（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分要点：I、方向导数II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III：隐函数的偏导数的计算；例1：设,)()(1yxyxyfxz.2yxz求答案：)()()(2yxyyxxyfyyxzIV：多元函数全微分的计算；232uxyzxyz0(0,1,2)P例:(1)函数在点处沿哪个方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例1：设,)()(1yxyxyfxz.2yxz求例3：设,)(22yxfz求yxz2(5,1,2)A(9,4,14)BAB(2)求函数xyzu在点处沿到点的方向上的方向导数例3：设,)(22yxfz求yxz2解：zxyuxuudfdxz22yxuxuufu)(')(2'ufxuyxz2])(2['ufxyu])([2'ufyxuxyu)('ufu22yxu例4：设,)(arctan22xyeyxz.dz求答案：])2()2[(arctandyxydxyxedzxy要点：I、方向导数II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III：隐函数的偏导数的计算；IV：多元函数全微分的计算；（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分例3：设),(yxzz02zyxeze是由方程解：两边取全微分.,2yxzdz,02)(dzedzxydezyx,22dyexdxeyedzzzxy所确定的二元函数，求整理并解得,2zxyeyexz)2(2zxyeyeyyxz2)2()2()(zzxyzxyxyeyzeyeexyee2'')2()2()2()(zyzxyzyxyeeyeeye例3：设),(yxzz02zyxeze是由方程解：两边取全微分.,2yxzdz,02)(dzedzxydezyx,22dyexdxeyedzzzxy所确定的二元函数，求整理并解得)2(2zxyeyeyyxz2)2()2()(zzxyzxyxyeyzeyeexyee32)2()2)(1[(zzzxyxyexyeeee,2zxyeyexz拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：),(),(),(yxyxfyxL（2）联解方程组，求出问题1的所有可能的极值点。问题1：求函数z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的极值（称为条件极值问题）。),,(yxLx0),(),(yxyxfxx),,(yxLy0),(),(yxyxfyy),,(yxL0),(yx（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。（3）条件极值。例1：在椭球面12222zyx上，求距离平面62zyx的最近点和最远点。解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为222)1(12|62|zyxd6|62|zyx问题1：在约束条件012222zyx下，求距离d的最大最小值。由于d中含有绝对值，为便于计算，考虑