1.集合讲义

体系构建--集合专题1集合一．集合的概念：集合没有确切定义，是一个基本概念。对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。符号表示为{}，表示的意思为全体。这些对象我们称之为元素。集合通常用大写字母A、B、S……表示，元素通常用小写字母a、b、c……表示。【典例分析】：1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C所有的数学容易题D所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D.（1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A某校大于50岁的教师B某校30岁的教师C某校的年轻教师D某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S中的元素是a,b,c,其中a,b,c为△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3{a-3,2a-1,a2+4},求实数a的值，并求此时的实数集。（集合三要素）例题5:a、b∈R,集合{1，a+b，a}={0，ab，b}，则b-a=三．几种常见集合自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。（应用，三角函数，体系构建--集合专题2数列）四．集合的分类有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；例1.下面集合是有限集还是无限集？（1）不超过10的非负偶数的集合；（2）大于10的所有自然数组成的集合；（3）方程x2-4=0的解集（4）在平面上到两定点A、B距离相等的点的集合五．元素与集合之间的关系与运算集合和元素之间的关系是属于（∈）和不属于（∉）【典例分析】：1用符号∈或填空：（1）0__N*；2__Z；(-1)0__N*；（2）23______11xx；32__0xx；2+5__{x|x≤2+3}；（3）3____2{x|x=n+1,nN*}；5____2{x|x=n+1,nN*}（4）(-1,1)_____{y|y=x2}；（-1,1）____{（x，y）|y=x2}2非空集合M中的元素只能是1，2，3，4，5中的某些数，若aM,则（6-a）M,试求符合条件的M的个数。3设A={a},则下列各式中正确的是（）A.0AB.aAC.aAD.a=A4方程组9,1yxyx的解集是（）A.(5,4)B.{5,-4}C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}5已知集合M={m|m=a+2b,a,b∈Q},则下列元素中属于集合M的元素个数是（）○1m=1+2；○2m=1227；○3m=221；○4m=32+32A.0个B.1个C.2个D.3个六．集合的表示方法1、列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法；注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。例题1：设集合kkkA2,2，求实数k的取值范围。体系构建--集合专题3例题2：3.含有三个实数的集合可表示为,,1yxx，也可表示为,,0xxy，则53xy的值为（）A.0B.1C.-1D.12、描述法：有以下两种描述方式1）代号描述：例方程x²-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x²-3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符号的条件。（代号不一样，所表示含义也不一样）例题1：已知集合,30Axyyx，集合22,1,Bxyxya若ABB，则a的取值范围是（）A.2,B.,2C.2,2D.,22,例题2：.已知集合A=2640,xRaxxaR,若A中的元素至多有一个,求实数a的取值范围2）文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。例{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就是说要判断元素到底是什么。3、区间表示法：数轴上得一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思。例（2,3），[2,3],(2,3]，[2,3）……例题1．集合260,22,AxRxxBxRx则______.AB例题2．设2230,,SxxxPxxq若PS，则q的取值范围是（）4、图像表示法：数轴、坐标系、维恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。数轴表示法：常与区间法表示同时使用坐标系表示法：例题1.已知集合,30Axyyx，集合22,1,Bxyxya若ABB，则a的取值范围是（）A.2,B.,2C.2,2D.,22,题型1:表示集合2：画图（a、常规(标数)b、创新）常规：例题2：设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集且S1S2S3=I,则下面论断正确的是（）A.CIS1（S2S3）=B.S1(CIS2CIS3)C.CIS1CIS2CIS3=D.S1(CIS2CIS3)例题3：设集合M,N是非空集合，且MNU（U为全集），则下列集合表示空集的是（）体系构建--集合专题4A.()UMCNB.()UCMNC.()UCM()UCND.MN例题4：全集S={1、2、3、4、5、6、7、8}，AB={1、2}，ACSB={5},CSACSB={6、7}，求B创新：例题5：已知集合A,B属于全集I，如果规定集合A-B表示在集合A中不在集合B中，那么B-[A-(A-B)]=__________。七．集合与集合之间的关系与运算1、子集与真子集：1已知集合M满足{1，2}M{1,2,3,4,5},写出这样的集合M,有多少个M?2已知集合A={x|x2-2x-3=0}；B={x|ax-1=0},若BA,则a的值为？3已知A={x|-3x4},B={x|2m-1xm+1}，若BA,求实数m的取值范围。4下列命题：○1空集没有子集；○2任何集合至少有两个子集；○3空集是任何集合的真子集；○4若A,则A,其中正确的命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个5已知{x|x2=1}A{-1,0,1,2},则符合条件的集合A的个数（）A.3B.4C.6D.86如图所示，下列集合关系正确的有（）(1)AB(2)AC(3)BC(4)BDA.1个B.2个C.3个D.4个7已知集合A={x|1ax2},B={x||x|1},满足AB,求实数a的范围。8若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},BA,求m的值。9设集合A={x|x2+4x=0,xR},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若BA,求实数a的值。10已知A={x|x-2或x3},B={x|4x+m0},当AB时，求m的取值范围.11已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a的值，使得对于任意实数b都有AB?若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由；体系构建--集合专题5(2)若AB成立，求出对应的实数对（a,b）.12下列各式正确的个数是（）○1{0}{0，1，2}○2{0，1，2}{2，1，0}○3{0，1，2}○4={0}；○5{0，1}={（0，1）}；○60={0}.A.1个B.2个C.3个D.4个13已知A={0,1},B={x|xA},则A与B之间的关系是（）A.ABB.ABC.BAD.AB14已知集合A={x|-2k+6xk2-2},B={x|-kxk}.若AB,则实数k的取值范围_____.15已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是_____.2、集合相等1设集合A={x-y,x+y,,xy},B={x2+y2,x2-y2,0},且A=B,试求实数x和y的值及集合A、B.2若A={x|x=4n+1,nZ},B={x|x=4n-3,nZ},C={x|x=8n+1,nZ},则A,B,C之间的关系是（）A.CBAB.ABCC.CA=BD.A=B=C3、集合关系与其特征性质之间的关系1判断下列集合A与B的关系：（1）A={x|x-2},B={x|x-1}；（2）A={x|x是4的约数}，B={x|x是8的约数}；（3）A={x|x是正三角形}，B={x|x是有一个角为60°的等腰三角形}（4）A={x|x=2n,nZ},B={x|x=4n,nZ}；（5）A={x|x2-x=0},B={x|x=2(-1)1n}2设集合M={x|x=2k+41,kZ},N={x|x=4k+21,kZ},则（）A.M=NB.MNC.MND.MN=4、正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系1以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来.○10与{0}；○20与；○3与{0}；○4{0，1}与{（0，1）}；○5{（b,a）}与{（a,b）}5、有限集合的子集问题（注意空集，空集是任意集合的子集）1给出的下列命题，正确的个数是（）○1空集没有子集○2空集是任何一个集合的真子集○3任何一个集合必有两个或两个以上的子集○4如果集合BA,那么若元素不属于A,则必不属于B.A.0B.1C.2D.36、交集的定义1设全集U=Z,将下列集合A={x|x=3k,kZ}、B={y|y=3k+1,kZ}、C={z|z=3k+2,kZ}、D={w|w=6k+1,kZ}的符号语言转化为文字语言，并求AB,AC,BC,BD.2已知集合M={1,2,a3-a},N={0,a+1,3-a2},且MN={0,1},则实数a的解集是（）A.{0}B.{0,1}C.{1}D.体系构建--集合专题63设集合A={x|-1x2},B={x|0x4},则AB=()A.{x|0x2}B.{x|1x2}C.{x|0x4}D.{x|1x4}4已知集合M={1,2,a3-a},N={0,a+1,3-a2},且MN={0,1},则由实数a所有取值组成的集合是（）A.{0}B.{0,1}C.{1}D.7、并集的定义1设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若AB={21},则AB=().A.{21,31,-4}B.{21,-4}C.{21,31}D.{21}2设集合A={1,2},则满足AB={1,2,3}的集合B的个数（）A.1B.3C.4D.83满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A.4B.3C.2D.14若三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围.5设集合{|a+1|，3，5}，B{2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当AB={2,3}时，求AB8、交集与并集的运算性质1设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|2x2-ax+2=0},若AB=A,求实数a的值.2若集合P={1,2,3,m},Q={2m,3},满足PQ=Q,求m的值.9、全集与补集