六西格玛中的1.5σ偏移

六西格玛中的1.5σ偏移刚接触六西格玛的人，往往会被1.5σ偏移搞的焦头烂额。大多数人认为，6σ偏移1.5σ后，应该是4.5σ。其实这种说法是不完全正确的。大家知道，质量问题大多可以转化为正态分布X～（μ，σ2）来研究，如图1所示：1.5σ偏移可以分为两种情况，一种如图1所示的双边规格限问题；另一种则是只有单边规格限的问题。单边规格限又分为两种情况：①只有下规格限LSL（如图2）。特殊情况下，LSL＝0（如图3）。如位置度、平面度、端面跳动等形位公差，分析方法同图2。μ+σ0μXLSLUSL图10μ+σμXLSL图2PDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversion②只有上规格限USL（如图4）。在研究1.5σ偏移时，单边规格限问题的两种情况（图2、图4），其中一种在经过镜像、移位等处理后与另一种完全相同。故仅以后一种情况，即只有上规格限（图4）的情况为例来研究（后文不作特殊说明，单边规格限均指只有上规格限）。单边规格限1.5σ偏移问题又包括左偏移（图5）和右偏移（图6）两种情况（又称为正偏移和负偏移）。μ+σ0μXUSL图40μ+σμXLSL＝0图3PDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversion单边规格限情况下，左偏移时，不合格品率减少；右偏移时，不合格品率增加。如果未偏移时的不合格品率用P来表示，则P＝1－P（USL）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL－μσ左偏移时（图5），σ、USL均不变，分布中心左偏移1.5σ，即σ左′=σ,USL左′=USL，μ左′=μ－1.5σ。偏移后的不合格品率P左′为P左′＝1－P（USL左′）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL左′－μ左′σ左′＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL－（μ－1.5σ）σ＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（USL＋1.5σ）－μσμ+σ0μXUSL图5μ左′=μ－1.5σUSLμ+σ0μX图6μ右′＝μ＋1.5σPDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversion左″=USL＋1.5σ，σ左″=σ,μ左″=μ，则此问题即转化为一个均值未动，上规格限右偏移1.5σ的正态分布问题（如图7）。转化后的正态分布模型中，不合格品率P左″为P左″＝1－P（USL左″）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL左″－μ左″σ左″＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（USL＋1.5σ）－μσ＝P′右偏移时（图6），σ、USL均不变，分布中心右偏移1.5σ，即σ右′=σ,USL右′=USL，μ右′=μ＋1.5σ。不合格品率P右′为P右′＝1－P（USL右′）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL右′－μ右′σ右′＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL－（μ＋1.5σ）σ＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（USL－1.5σ）－μσUSL左″=USL＋1.5σUSLμ+σ0μ左″＝μX图7PDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversion右″=USL－1.5σ，σ右″=σ,μ右″=μ，则此问题即转化为一个均值未动，上规格限左偏移1.5σ的正态分布问题（如图8）。转化后的正态分布模型中，不合格品率P右″为P右″＝1－P（USL右″）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL右″－μ右″σ右″＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（USL＋1.5σ）－μσ＝P右′若一个流程为6σ水平时，用标准正态分布模型来研究只有上规格限的单边规格限问题，即X～（0，1），则μ＝0，σ=1，USL=6。未偏移的不合格品率P为P＝1－P（6）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞6－01＝1－Ф（6）＝9.901×10-10左偏移1.5σ，即μ左′=μ－1.5σ＝0-1.5＝-1.5时，不合格品率P左′为P左′＝1－P（USL左′）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（USL＋1.5σ）－μσ＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞7.5－01＝1－Ф（7.5）＝3.220×10-14USL右″=USL－1.5σUSLμ+σ0μ右″＝μX图8PDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversionσ，即μ左′=μ＋1.5σ＝0＋1.5＝1.5时，不合格品率P右′为P右′＝1－P（USL右′）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（USL－1.5σ）－μσ＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞4.5－01＝1－Ф（4.5）＝3.401×10-6＝3.401PPM通常大家所说的考虑1.5σ偏移时，6σ对应的不合格品率为3.4PPM，即是指这种情况——流程为6σ水平，只有上规格限，右偏移1.5σ（或者是只有下规格限，左偏移1.5σ）。对于只有上规格限，右偏移1.5σ（或者是只有下规格限，左偏移1.5σ），其对应的不合格品率，可用相应的σ水平减去1.5，查标准正态分布表后得出。以上讨论的是单边规格限问题，下面谈一谈双边规格限时的情况。双边规格限又包括对称规格限（图1）和非对称规格限两种情况。由于非对称规格限原理与对称规格限相同，且讨论起来又较为复杂，此处仅讨论对称规格限问题。对于非对称规格限问题，以下推导公式同样有效。与单边规格限问题一样，对称规格限问题同样存在左偏移与右偏移两种情况，由于二者互为镜像，所以仅以右偏移（图9）为例来说明。用P双表示不发生偏移时的不合格品率，则P双＝P（LSL）＋1－P（USL）＝Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞LSL－μσ＋1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL－μσ＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞LSL－μσ＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL－μσ右偏移时，σ、LSL、USL均不变，分布中心右偏移1.5σ，即σ′=σ,LSL′=LSL，USL′=USL，μ′=μ＋1.5σ。不合格品率P双′为P双′＝P（LSL′）＋1－P（USL′）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞LSL′－μ′σ′＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL′－μ′σ′＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞LSL－（μ＋1.5σ）σ＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL－（μ＋1.5σ）σ＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（LSL－1.5σ）－μσ＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（USL－1.5σ）－μσPDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversion″=LSL－1.5σ，USL″=USL－1.5σ，σ″=σ,μ″=μ，则此问题即转化为一个均值未动，上下规格限均左偏移1.5σ的正态分布问题（如图10）。转化后的正态分布模型中，不合格品率P双″为P双″＝P（LSL″）＋1－P（USL″）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞LSL″－μ″σ″＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL″－μ″σ″＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（LSL－1.5σ）－μσ＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞（USL－1.5σ）－μσ＝P双′若一个流程为6σ水平时，用标准正态模型来研究双边规格限的问题，即X～（0，1），则μ＝0，σ=1，LSL＝-6，USL=6。不偏移的不合格品率P双为USLμ+σ0μX图9μ′＝μ＋1.5σLSLUSLμ+σ0μ″＝μX图10LSL″=LSL－1.5σLSLUSL″=USL－1.5σPDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversion双＝P（LSL）＋1－P（USL）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞LSL－μσ＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL－μσ＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞－6－01＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞6－01＝2[1－Ф（6）]＝1.980×10-9＝0.002PPM右偏移1.5σ，即μ′=μ＋1.5σ＝0＋1.5＝1.5时，不合格品率P双′为P双′＝P（LSL′）＋1－P（USL′）＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞LSL′－μ′σ′＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞USL′－μ′σ′＝1－Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞－6－1.51＋Ф⎝⎜⎛⎠⎟⎞6－1.51＝1－Ф（7.5）＋Ф（4.5）＝3.401×10-6＝3.401PPM虽然从最后结果看，6σ水平时，双边规格限偏移1.5σ与单边规格限偏移1.5σ对应的不合格品率都为3.4PPM，但是将公式都回推一步，不难发现P右′＝1－Ф（4.5）P双′＝1－Ф（7.5）＋Ф（4.5）代表双边规格限偏移1.5σ的P双′并不等于代表单边规格限偏移1.5σ的P右′，二者相差Ф（7.5）。也就是说，若求双边规格限偏移1.5σ对应的不合格品率，就不能只简单用相应的σ水平减去1.5，查标准正态分布表得出。分析表明，当σ水平大于1.2时，两种方法计算的相对误差小于1%；当σ水平大于1.8时，两种方法计算的相对误差小于1‰；当σ水平大于2.8时，两种方法计算的相对误差小于0.1‰；只有σ水平小于0.6时，两种方法计算的相对误差才大于10%。故一般情况下，可以简单的用相应的σ水平减去1.5，查标准正态分布表，求出相应的不合格品率。但是，并非说，知道流程的σ水平，减去1.5就是偏移后的σ水平。分析表明，对于双边规格限的偏移问题，当不考虑偏移、σ水平等于6时，此种方法计算的相对误差为1.424%；当不考虑偏移、σ水平等于3时，此种方法计算的相对误差高达18.919%。故对于双边规PDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversion格限的偏移问题，知道不考虑偏移时的σ水平，应先求出对应的不合格品率，再反查对照表得出考虑偏移时的σ水平，亦可编制软件用逼近的方法求出。DrinkingSnow2003年9月17日注：六西格玛管理中的1.5σ来源说法不一，本文不作具体研究。文中的1.5σ均可用其他数据代替分析。PDFcreatedwithFinePrintpdfFactoryProtrialversion