专题05 数列求和方法-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)

Gothedistance【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。【方法点评】方法一公式法解题模板：第一步结合所求结论，寻找已知与未知的关系；[来源:学科网]第二步根据已知条件列方程求出未知量；第三步利用前n项和公式求和结果例1.设}{na为等差数列，nS为数列}{na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列}{nSn的前n项和，求nT．Gothedistance【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：等差数列前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad．等比数列前n项和公式：111(1)(1)(1)11nnnnaqSaqaaqqqq．自然数方幂和公式：1123(1)2nnn22221123(1)(21)6nnnn333321123[(1)]2nnn【变式演练1】在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.方法二分组法Gothedistance解题模板：第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步分别求和：即分别求出各个数列的和；[来源:Z。xx。k.Com]第四步组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.例2.已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项Sn.【变式演练2】已知数列{}na的通项公式为2()nannN，数列{}nb是以函数214sin()12yx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列nnab的前n项和nS.方法三裂项相消法[来源:学+科+网Z+X+X+K]解题模板：第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；第三步消项求和：即把握消项的规律，准确求和.Gothedistance例3.已知数列}{na前n项和为nS，首项为1a，且12，na，nS成等差数列．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）数列}{nb满足221223(log)(log)nnnbaa，求证：12311111...2nbbbb．Gothedistance【评注】在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．常用的裂项公式：111(1)1nnnn1111()(21)(21)22121nnnn111nannnn1121mmmnnnCCC．nn！=(1)n！n！121321()()()nnnaaaaaaaa【变式演练3】已知知函数2()fxxbx的图象在点(1,(1))Af处的切线l与直线320xy平行，若数列})(1{nf的前n项和为nS，则2013S的值为()A.20132014B.20132012C.20122011D.20112010方法四错位相减法解题模板：第一步巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步确定等差、等比数列的通项公式；Gothedistance第三步构差式：即写出nS的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步求和：根据差式的特征准确求和.例4.已知数列{}na，{}nb满足12a，121nnnaaa,1nnba，0nb.（Ⅰ）求证数列1{}nb是等差数列，并求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令nnnbc21求数列nc的前n项和nT.【评注】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．Gothedistance【变式演练4】已知首项都是1的两个数列{}na、{}nb（0nb，nN）满足11120nnnnnnababbb．（Ⅰ）令nnnacb，求数列{}nc的通项公式；（Ⅱ）若13nnb，求数列{}na的前n项和nS．方法五倒序相加法例5.设1110113112111,244)(ffffxfxx则()A．4B．5C．6D．10【答案】B考点：倒序相加法求和.Gothedistance【变式演练5】已知函数321(),().212xFxxx（1）求122009()()()201020102010FFF的值；（2）已知数列11{}2,()nnnaaaFa满足,求证数列11na是等差数列；（3）已知nnnb212，求数列{}nnab的前n项和nS.【答案】(1)S=60272.(2)见解析；（3）nS=1242nn。GothedistanceGothedistance【高考再现】1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.2．（2014·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．Gothedistance又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，3．（2014·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.[来源:学科网]当n为奇数时，GothedistanceTn＝1＋13－13＋15＋…－12n－3＋12n－1＋12n－1＋12n＋1＝1＋12n＋1＝2n＋22n＋1.所以Tn＝2n＋22n＋1，n为奇数，2n2n＋1，n为偶数.或Tn＝2n＋1＋（－1）n－12n＋14．（2013·江西卷）正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1（n＋2）2a2n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn564.5．（2013·湖南卷）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－12n，n∈N*，则(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．Gothedistance＝S101－a101－2－122－124－…－12100－1－12100＝－12102－－12102＋2×1221－122501－122－1－12100＝－131－12100＝1312100－1.6．（2013·山东卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋an＋12n＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.[来源:Zxxk.Com]Gothedistance所以数列{cn}的前n项和Rn＝194－3n＋14n－1.【反馈练习】1．设{an}和{bn}都是等差数列，其中a2＋b2＝20，a99＋b99＝100，则数列{an＋bn}的前100项之和S100＝()A．6000B．60000C．600D．50502．已知数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}前12项和S12＝()A．76B．78C．80D．82Gothedistance3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S100，S110，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的取值为()A．5B．6C．4D．74．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k为()A．－1B．0C．1D．25．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝()A．1B．9C．10D．55解析：由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10，又由于a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.故a10＝1.答案：A6．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列1fn(n∈N*)的前n项和是()[来源:学科网]A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[来源:Z.xx.k.Com]Gothedistance7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n·(an＋1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2013＝________.8．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．9．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，10．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列；Gothedistance(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；(2)若数列1anan＋1的前n项和为Tn，问满足Tn100209的最小正整数n是多少？解析：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1)，得an－an－1＝2(n＝2,3,4，…)．所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以an＝2n－1.(2)Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1＝11×3＋13×5＋…＋1n－n＋＝1211－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1，由Tn＝n2n＋1100209，得n1009，所以满足Tn100209的最小正整数n为12.12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，b1＝1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；Gothedistance(2)求数列anbn的前n项和Tn.13.数列na的前n项和为nS,且1nnSa,数列nb满足114,32nnbbb;（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；[来源:学#科#网]（Ⅱ）设数列nc满足321log1nnncab