行测讲义--数量关系(PDF,更新版)

数量关系总论第一部分数论基础基础篇第二部分基本方法工具篇第三部分基本题型实用篇第一部分数论基础第一节、数的整除特性一、整除与除尽的概念1、整除：若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除（或说b能整除a）。例子：28÷7=4，88÷11=8等。2、除尽：两数相除，没有余数，这时就说被除数能被除数除尽。整除是除尽的一种情况。例子：38÷5=7.6叫除尽，40÷3=13.3就不叫除尽。二、整除的性质1、a︱b,b︱c[a,b]︱c【例如】：3︱24,4︱2412︱24，即24能被3整除，24也能被4整除，则24一定能被3和4的最小公倍数整除。2、a︱bc,(a,b)=1a︱c【例如】：3︱4a,(3,4)=13次a,4a能被3整除，3和4互质，则a一定能被3整除。3、a=n︱a,m︱b,(a,b,c∈Z)例如：a=b,(a,b∈Z)3︱a,4︱b,整数a和b之间有（最简分数）倍数关系，则a一定能被3整除，b一定能被4整除。4、a︱b,b︱ca︱c【例如】：3整除6,6整除18，则3一定整除18。三、整除的核心排除（抓住题中关键数量关系，判断未知量被某数字整除或具体的余数值，快速排除、甚至锁定选项）四、常用小数字的整除判定（一）看局部（1）一个数的末位能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。（2）一个数的末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。（3）一个数的末三位能被8或125整除，则这个数能被8或125整除。以此类推……（二）看整体1、整体做和一个数各位数数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。【例题】：判断4287能否被3或9整除？分析：4287=4×1000+2×100+8×10+8=4×（999+1）+2×（99+1）+8×（9+1）+7=4×999+2×99+8×9+4+2+8+7，其中4×999+2×99+8×9必然是3或9的倍数，所以只需要验证4+2+8+7能否被3或9整除。2、整体做差（1）7、11、13如果一个整数的末三位与末三位以前的数组组成的数字之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。（此方法适用于四位及四位以上的大数字）分析：原理7×11×13=1001。用此原理来证明能被7整除的数，只看末三位与剩余三位的数字差即可。12375=1001×12+（375-12）=12012+（375-12），而12012必然能被7整除，所以只需要看（375-12）能否被7整除就可以，即末三位与剩余数字之差能否被7整除。11、13的判定原理同7。（2）11奇数位上数字和偶数位上数字和只差能被11整除，原数一定义能被11整除。分析：原理，3724=3×1000+7×100+2×10+4=3×(1001-1)+7×（99+1）+2×（11-1）+4=3×1001+7×99+2×11+[(7+4)-(3+2)]，显然1001,99,11都是11的倍数，故只需判断[(7+4)-(3+2)]能否被11整除，就可以做出判断了。（三）截尾法一般适用于四位数字以下（含四位）的数字。定义：一个数截去末位数字后，所得的数字减去（加上）末位数字的n被所得的差（和）能否被除数整除来判定整除的方法。1)7：把个位数字截去，再从余下的数字中，减去个位数的2倍，结果是7或是7的倍数，则原数能被7整除。分析：原理，先割去末位数组字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位减去所割数字的2倍，实际上又减去了所割数字的20倍，加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的21倍。因为21=7×3,即21是7的倍数，减去的结果是7或是7的倍数（包括0），就证明原数能被7整除，反之，则不能。举例子:483。2)11：依次去掉最后一个数字并减去末位数字，结果是11或是11的倍数，则原数能被11整除。分析：原理，先割去末位数字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位减去所割去数字的1倍，实际上是减去了所割数字的10倍，加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的11倍。11是11的倍数，减去的结果是11或是11的倍数（包含0），都证明原数字一定能被11整除，反之，则不能。举例子：2629。3)13：逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的4倍，结果是13或是13的倍数，则原数字能被13整除。分析：原理，先割去末位数字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位加上所割去数字的4倍，实际上是加上了所割数字的40倍，加上原来减去的1倍，一共加上所割数字的39倍。因为39是13的倍数，加得的结果是13或是13的倍数（包含0），则原数字一定能被13整除，反之，则不能。举例子：364。4)17：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的5倍，结果是17或是17的倍数，则原数字能被17整除。分析：原理，先割去末位数字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位减去所割去数字的5倍，实际上是减去了所割数字的50倍，加上原来减去的1倍，一共减去所割数字的51倍。因为51是17的倍数，减得的结果是17或是17的倍数（包含0），则原数字一定能被17整除，反之，则不能。举例子：8765。5)19：逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的2倍，结果是19或是19的倍数，则原数字能被19整除。分析：原理，先割去末位数字，实际上是减去末位数字本身的1倍，再从前位加上所割去数字的2倍，实际上有又加上了所割去数字的20倍，加上已经减去的1倍，一共加上所割数字的19倍。因为19是19的倍数，加得的结果是19或是19的倍数（包含0），则原数字一定能被19整除，反之，则不能。举例子：475。（四）其他合数将该合数进行因式分解，能同时被分解后的互质因数整除。例如：既能被2整除又能被3整除的数，一定能被6整除。五、整除的常见应用（一）文字描述整除明显的字眼、出现“每”“平均”“倍数”等【例题】：单位组织员工听报告会，如果每三人一条长凳，那么剩下48人没有座位，如果每5人一条长凳，则刚好空出两条长凳。报告厅员工共有多少人？A、128B、135C、146D、152分析：根据如果每5人一条长凳，则刚好空出两条长凳可知，报告厅员工数能被5整除，故选B。（二）数据体现整除出现百分比、百分数、比例等。【例题】：有父子5人，长子的年龄比父亲的一半少7岁，次子年龄的3倍比父亲少3岁，三子年龄的6倍比父亲多6岁，幼子的年龄是父亲年龄的。则父亲今年为（）岁。A、56B、48C、42D、36分析：根据题意，父亲的年龄既能倍2整除，也能被21整除，即能被42整除。故选C。（三）计算中用整除1、列式后，如果式子难解就用整除化简计算过程【例题】：99999×22222+33333×33334=A、3333100000B、3333200000C、3333300000D、3333400000分析：直接计算比较难，选项中尾数法不可使用。原计算式子，每一部分都能被3整除，结果一定能被3整除。故选C。2、列式后，如果式子不能被某数整除，就利用同余特性。【例题】：34×35+37×38=A、2596B、2586C、2576D、2556分析：尾数法不可用，又不能被3整除。各数字除以3所得余数为1×2+1×2=4，4÷3=1……1,结合选项，除以3余数为1的为2596。故选A。3、等差或等比数列求和中利用长出特性【例题】火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯？A、24B、28C、36D、37分析：整除法，求a4,a4=a1×q3,q=2，则a4能被8整除，结合选项故选A。4、题干的描述中出现了小数字的判定方法（1）如果问这个六位数的后两（三）位是多少，可能考察的是2、5、4、25、8、125的倍数。（2）如果问这个六位数的后三位比前三位多多少，可能考察的是7、11、13的倍数。（3）如果问这个六位数的所有数字之和，可能考察的是3、9的倍数。第二节、余数问题一、余数1、余数的概念被除数减去商和除数的积，结果叫做余数。2、负余数余数中大于0且小于除数的余数叫做“正余数”，即通常意义上的余数。正余数减去除数，所得的结果定义为“负余数”。负余数的意义：若干相同物体均分为若干份时，最后一份不足的物体个数。3、计算关系式被除数=除数×商+余数，最小正余数-除数=最大负余数。二、同余1、同余系定义：给定一个正整数m，如果整数a、b、c……一系列数用m除所得的余数相同，则称整数a、b、c……这系列数是m的同余系。2、同余特性（1）余数的和决定和的余数。【例】23、16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数是4；24、28除以5的余数分别是4和3，所以（23+28）除以5的余数是7，正余数是2。真也是为什么用“决定”而不用“等于”的原因，下同。（2）余数的差决定差的余数。【例】29、17除以5所得的余数分别为4和2，那么29-17=12除以5所得的余数为2=4-2。（3）余数的积决定积的余数。【例】23、16除以5所得的余数分别为3和1，那么，23×16除以5所得的余数为3×1=3；22、19除以5所得的余数分别为2和4，而22×19除以5所得的余数为8，正余数为3。（4）余数的幂决定幂的余数。【例】求20122012÷7的余数。分析：一个2012除以7的余数为3，所以32012÷7的余数为32012，32012=91006，除以7的余数为2；21006=8335×2，相应的余数是1335×2=2。3、同余特性的应用（1）解不定方程【例】不定方程x+3y=100，其中x、y均为正整数。则x可以为下列的那个值（）A、41B、42C、43D、44分析：因为3y能被3整除，100除以3的余数为1，根据同余特性，x除以3的余数必定是1，故选C。（2）求日期【例】老王、老李、老周三人周一同去图书馆，已知老王每隔15天去一次图书馆，老李每隔16天去一次图书馆，老周每隔17天去一次图书馆。那么三人下次一同去图书馆是周几。分析：要求下次三人一同去图书馆的时间，即求15、16、17的最小公倍数，然后除以7找余数。已知，15、16、17除以7的余数分别为1、2和3，那么，15×16×17除以7的余数为1×2×3=6。所以下次一同去图书馆的时间为周一后的6天，即周日。三、中国剩余定理1、剩余问题的通用形式（1）余同：某个数字R分别除以a、b、c…所得的余数相同，则称为余同。【例】507除以7，余数为3；除以8余数为3；除以9余数为3。（504=7×8×9+3）余同求被除数的公式：被除数=除数的最小公倍数+余数。（2）和同：某个数字S分别除以a、b、c…所得的余数与分别与对应的除数相加之和相等，称为和同。【例】514除以7余数为3；514除以8,余数为2，514除以9余数为1。（514=7×8×9+10）和同求被除数公式：被除数=最小公倍数+和。（3）差同：某个数字T分别除以a、b、c…所得的余数，除数与其相对应余数的差相等，称为差同。【例】498除以7余数为1；除以8余数为2；除以9余数为3。（498=7×8×9-6）差同求被除数公式：被除数=最小公倍数-差。2、剩余问题的解法逐步满足法：先满足一个条件，再满足下一个条件，直到满足所有。利用同余特性，广义和同、差同法。第三节、数的奇偶性一、概念奇数：不能被2整除的数称之为奇数；偶数：能够被2整除的数称之为偶数。二、运算性质（一）基本性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数。性质2：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。（二）推论推论1：若几个整数的和（差）为奇数，则这些书中奇数的个数为奇数；若为偶数，则这些数中奇数的个数为偶数。推论2：当且仅当几个整数的乘积是奇数，那么这几个数均为奇数；当且仅当几个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个偶数。推论3：两数之和与两数之差的奇偶性相同。三、应用（一）解方程（以解不定方程为主）【例】满足等式1983=1982x-1981y的一组自然数是（）A、x=12785,y=12768B、x=12784,y=12700C、x=11888,y=11893D、