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第7章小波7.1背景知识7.2快速小波变换7.3小波分解结构的运算7.4快速小波反变换7.5图像处理中的小波27.1背景知识基本思想：将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加。缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。傅立叶变换小波变换的由来3•FT变换适于分析平稳信号。实际中大多数信号含有大量的非平稳信号，例如：突变，奇异，事件的起始与终止等情况。这些情况反映了信号的重要特征，是分析的对象。例如下图：典型的地震信号典型的地震记录4实际采集的地震信号它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息5•如何完成只分析数据中的一小部分?6短时傅立叶变换（STFT）•基本思想：给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信号进行变换，因此反映了信号的局部特征。7•缺陷：其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关，保持固定不变，对于分析时变信号不利！（高频信号持续时间短，低频长。我们希望对于高频采用小的时间窗，低频使用大时间窗进行分析。）STFT无能为力了！不能构成正交基，给数值计算带来不便。8小波信号隆重登场•登场原因：（1）继承和发展了STFT的局部化思想。（2）克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基的缺点。Whatiswavelet•一种函数–具有有限的持续时间、突变的频率和振幅–波形可以是不规则的，也可以是不对称的–在整个时间范围里的幅度平均值为零–比较正弦波•部分小波波形11正交基的解释若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色和大小为特征基，构成此物体特征描述空间。大小和颜色是互不相干的2种描述，我们称其为正交。同时若这些基能够完全表示所有物体，我们称其为完备特征基。因为特征基表现了物体特征，因而可以用更简洁的描述表示物体。12小波变换的提出•1984年法国的年轻的地球物理学家JeanMorlet在进行石油勘探的地震数据处理分析时与法国理论物理学家A.Grossman一起提出了小波变换(wavelettransform,WT)的概念。(6)三种变换的比较14各种信号分析方法的对比(a)二维图•考虑一个大小为M*N的图像f(x,y)，其正向离散变换T(u,v,…)可用一般的多项式关系表示为•其中，x,y是空间变量，u,v,…是变换域变量。若给定T(u,v,…)，则f(x,y)可用一般的离散反变换：•在这些方程中分别称为正变换核和反变换核。他们决定了变换对的性质、计算复杂度和主要用途。变换系数T(u,v,…)可看做是f关于{hu,v…}的一系列展开系数。,,...,(,,...)(,)(,)uvxyTuvfxygxy,,...,(,)(,,...)(,)uvxyfxyTuvhxy,,...,uvuvgh*2(//),,,2(/)2(/)1(,)(,)0,1,...,1,0,1,...,1,(,)()()1()1()juxMvyNuvuvuvuvjuxMujuyNvhxygxyeMNuMvNuvhxyhxhyhxeMhxeN其中，。变换域的本别表示水平和垂直频率。变换核是可分的。因为其中，，是正交的。•变换核的可分性简化了二维变换的计算，这样就可以使用先行后列或先列后行的一维变换来实现二维变换；正交性导致了正反变换和之间的复共轭关系。•离散小波变换是指：不仅其中使用的变换核不同，而且这些函数的基本特征和他们的应用方法也不同。•在此利用变换核对或定义该核对的一组参数来表征每个DWT，无论哪种变换，变换的展开函数是变化频率和持续时间受限的小波。•小波核的特征：•性质1可分离性、尺度可变性、平移性，核可用三个可分的二维小波来表示：/2,/2,(,)()()(,)()()(,)()()(,)(,)(,),)()2(2)()2(2)HVDHVDjjjkjjjkxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxxyxxykx其中，，和分别为水平、垂直和对角小波。一个二维可分的尺度函数是()=(()每个二维函数是两个一维实平方可积的尺度和小波函数的乘积平移参数决定了这些一维函数沿轴的/22jjx位置，尺度决定了他们的宽度，即它们沿着轴有多宽多窄，而控制它们的高度或幅度。•性质2多分辨率的一致性•一维尺度函数满足多分辨率分析的如下需求：•a.与其整数平移正交。•b.在低尺度或低分辨率下可表示为一系列的展开的一组函数，包含在可以以更高尺度表示的函数中。•c.唯一可以以任意尺度表示的函数是f(x)=0•当时，可用任意精度来表示任何函数。j,jk,jk•性质3正交性•展开函数对于一组一维可测的、平方可积函数形成一个正交基或双正交基。7.2快速小波变换()()2(2)()()2(2)Fnnxhnxnxhnxnhh和的展开系数分别为尺度和小波向量，他们是快速小波变换(WT)滤波器的系数。cAj+1cDj+1(h)cDj+1(v)cDj+1(d)cAj212112121212Lo_DHi_DLo_DHi_DLo_DHi_D行列列下采样行下采样二维离散小波变换(1,,)Wjmn图中的符号表示频带降低1/2，HH表示频率最高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程可以重复，直到符合应用要求为止。这样的滤波器组称为分解滤波器树(decompositionfiltertrees)表示其相应的频谱•小波分解得到的图像27补充：小波变换定义及特点•小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。•特点：（1）“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集（2）正负交替的“波动性”，也即直流分量为零28小波变换定义及特点29小波变换定义及特点•傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。•FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。•用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。30连续小波变换（ContinuousWaveletTransform，CWT）用下式表示：(,)()(,,)1(,)()(),(0)fRscalepositionftscalepositiontdttbWabftdtaaaC表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。连续小波变换CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（position）的函数。31基本小波函数ψ()的缩放和平移操作(1)缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄小波的缩放操作OOOf(t)f(t)f(t)tttf(t)＝(t)；scale＝1f(t)＝(2t)；scale＝0.5f(t)＝(4t)；scale＝0.2532(2)平移。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，小波的平移操作(a)小波函数ψ(t)；(b)位移后的小波函数ψ(t-k)基本小波函数ψ()的缩放和平移操作33•小波变换的步骤:一取一个小波与信号的最前面部分比较;二计算相关因子C,C代表小波和这段数据的相关性即:C越大,两者越相似;小波变换的步骤34三移动小波,重复步骤一和二,一直遍历整个数据;四对小波进行缩放,重复步骤一到三;五在所有小波尺度下,重复上述步骤.小波变换的步骤35小波变换的步骤36小波尺度和信号频率的关系小尺度信号的高频大尺度信号的低频7.5小波变换的步骤CWT的变换过程图示CWT小结•小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w比较低。39在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。离散小波变换（DWT）如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。40使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（DyadicWaveletTransform），它是离散小波变换（DiscreteWaveletTransform，DWT）的一种形式。离散小波变换（DWT）通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。41执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法(马拉)。这种方法实际上是一种信号分解的方法，在数字信号处理中常称为双通道子带编码。离散小波变换（DWT）需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量t的。2__________,,L()(,)()()1)()22xjkRjkjjxtDWTWjkxttdtttk任意(R)空间中的的为：其中（离散小波变换定义DWT变换方法•执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器–该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法–这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码•用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示–S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号–A表示信号的近似值(approximations)–D表示信号的细节值(detail)44一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations）另一个为高通滤波器，通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。离散小波变换（DWT）45图（a）信号分解；(b)小波分树；（c）小波分解树三级小波包分解树•图表示的是一棵三级小波包分解树。小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解树允许信号S表示为1332SAAADDADDD降采样过程•在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍。例如，如果原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。•根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样(downsampling)的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示48在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍。根据奈奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示离散小波变换（DWT）•在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。•比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。•在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。•离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树–原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解–信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。–如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树(waveletdecompositiontree)–分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要小波分解树小波包分解树•小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样