南京邮电大学-概率论-期末试卷

1期末试卷一一、填空题(共48分，每格三分)1.若随机变量满足则称是来自总体X的一个简单随机样本。nXXX,,21nXXX,,21),1(nF)(~ntT~2T3.已知随机变量，则。n21)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn2),(2N2,4.设总体X服从，未知，则样本容量为n的总体方差的置信水平为的置信区间为1独立同分布2)32(ˆSaXaX2.设总体X服从参数为的泊松分布，是简单随机样本，均值为，方差为，则已知为的无偏估计量，则a=。nXXX,,212S)(XE)(XD,20)(),cos()(ttAtX6.设随机过程，其中为常数，A是服从标准正态分布的随机变量，则X(t)的均值函数为，协方差函数为。2121coscos),(ttttCXX20),(ttX7.设是强度为的泊松过程，且对于任意，有，则。)(2)()(stsXtXE0st3)4(,2)1(XXP812ets,min22),(tsCX8.设是参数为的维纳过程，其协方差函数为。0),(ttX1649.02SXt5.设矿石中某种元素含量服从正态分布，但均值和方差和均未知。现测定容量为16的样本，为样本均值和样本方差，试在显著性水平下检验时所用的检验统计量为。2,SX49.0:0H310.对平稳过程X(t)若以概率1成立，则称X(t)的自相关函数具有各态历经性。)()()()()(XRtXtXEtXtX39.0,61.09.01.01.09.0P9.设马尔可夫链的状态空间I={0,1}则一步转移概率矩阵为，初始分布为则的分布律为。,2,1,0,nXn)31,32()0(P2X)2(P12211.已知平稳过程X(t)自相关函数为，则X(t)的谱密度，X(t)的均方值。||)(eRX)(XS)(2tXE14解：由题意提出假设：)15(||005.0ttnSXt200095.2||t,2000:,2000:10HH488.27)15(996.24)15(95.2)15(,60.2)15(2025.0205.0005.001.0tt二、(10分)已知某厂生产的灯泡寿命服从，其中和未知，现随机抽取16只进行测试，测得它们的平均寿命为：小时，样本标准差为：。2400S1800x),(2N检验统计量：拒绝域：样本计算值为95.2不在拒绝域内，接受原假设，故平均寿命是2000小时。1.在显著水平下，能否认为这批灯泡的平均寿命为2000小时？01.0164002000180025解：由题意要检验假设：222300)1(Sn996.2467.26221220300:,300:HH检验统计量：拒绝域：样本计算值为996.24在拒绝域内拒绝原假设认为这批灯泡的标准差超过300。2.在显著水平下，检验假设05.02)15(205.0222300400)116(6解:(1)矩估计量)(1XE解之得：12111三、(10分)设总体X的概率密度函数为，其中未知参数，而是来自总体X的一个简单随机样本，求的矩估计量和最大似然估计量。1nXXX,,,21,010,)1();(xxxf其它);(xfxxdxx10)1(2111A将代入得矩估计量121ˆXX(2)最大似然估计量niixfL1);()(其它,010,)()1(21innxxxxniixnL1ln)1ln()(lnniixndLd1ln1)(ln解之得最大似然估计值为1lnˆ1niixn解之得最大似然估计量为1lnˆ1niiXn072S四、(10分)设在正态总体中抽取一容量为16的简单随机样本，样本方差为，其中均未知，已知),(2N2,6.30)15(201.0解：1.求}04.2{22SP22)(SE2.若已知，求。)(),(22SDSE23015)1(2222SDSnD30)(15242SD42152)(SD}04.2{22SP}04.215)116({22SP}6.3015{122SP01.0199.0解：805.05.05.005.05.05.00P2.求}1|2,2{032XXXP五、(12分)已知马尔可夫链的状态空间为I={1,2,3}，初始分布为，其一步转移概率矩阵为31,31,31)0(p)2()0()2()0()2()0(323222121PpPpPp25.0315.03125.0310025.02212)2(pP1.求}2{2XP)2(}2{22PXP解：315.025.025.025.05.025.025.025.05.005.05.05.005.05.05.0005.05.05.005.05.05.00)2(2PP}1|2,2{032XXXP93.证明此链具有遍历性，并求其极限分布。证明：显然P(2)中无零元，故遍历。设极限分布为),,(32105.05.05.005.05.05.00),,(),,(321321132115.05.05.05.05.05.0321321231132解之得：31321102.证明X(t)具有各态历经性。)sin(0taE02cos2a)()(),(tXtXEttRXX)]([)(tXEtXdta)sin(20201.证明X(t)是平稳过程。0dtta)sin()sin(2000202六、(10分)设随机过程，其中为常数，。)sin()(0tatX0,a)2,0(~显然均值函数是常数，自相关函数仅与有关，X(t)是平稳过程。)sin()sin(0002ttaEdttaTtXTTT)sin(21lim)(00dtttaTtXtXTTT)sin()sin(21lim)()(000202cos2a显然，X(t)具有各态历经性。)()()(,)()(tXtXRtXtXX3.求X(t)的谱密度。02cos2)(aRX)()(2)(002aSX11期末试卷二一、填空题(共48分，每格3分)),1(nF)(~ntT~2T1.已知随机变量，则。niiniixnxnnppxXxXxXP11)1(},,,{22112.设总体X~b(1,p)，为来自总体的简单随机样本，则的分布律为)2(,,21nXXXn)(2SE),,(21nXXX)1(ppX3.设为来自正态总体的简单随机样本，则的矩估计量为，的矩估计量为。)2(,,21nXXXn),(2Nˆ22ˆniiXXn12)(121321PX4.设总体X的概率分布为，其中是未知参数，对总体X的如下样本值2,1,3,2,1,3；则的最大似然估计值为。3112)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn2),(2N2,5.设总体X服从，未知，则样本容量为n的总体方差的置信水平为的置信区间为1)2(112121nntnnyx211210::HH),(21N6.设是来自正态总体的样本，2,,21nYYY1,,,21nXXX),(22N是来自正态总体的样本，且设两样本独立，则检验问题(显著水平为)的拒绝域为：982187e9108e}4)3({XP}4)3(,1)1({XXP7.设是参数为3的泊松过程，则0),(ttX),(tsCX},min{3ts13cos22a)2,0()(tXE9.设随机相位正弦波过程其中a是常数，是在区间上服从均匀分布的随机变量，则，。)()(tXtX),(),cos()(ttatX0)(0S11.已知平稳过程的功率谱密度为。则其自相关函数为。0)(SSX)(XRttW),(),(tsRW8.设是参数为的维纳过程，则它的自相关函数。2},min{2ts10.对平稳过程X(t)若以概率1成立，则称X(t)的自相关函数具有各态历经性。)()()()()(XRtXtXEtXtX14解：由题意提出假设：221.015.02221SSF,:,:2221122210HH82.4)7,9(2.4)9,7(8946.1)7(,3646.2)7(025.0025.005.0025.0FFtt2.4检验统计量：拒绝域：样本计算值为显然不在拒绝域内，接受原假设认为两总体方差相等。1.在显著水平下，检验两总体方差是否相等？05.0二、(10分)设和分别是来自正态总体和的样本，其样本均值和样本方差分别为，，，。设两样本独立22115.0s),(211N24.0x821,,,XXX1021,,,YYY),(222N21.0y2221.0s2221ssF)9,7(2F或F)9,7(21F28.41F25.215解：由题意提出假设：)1(||12ntt1212.0nSXt3646.2)7(025.0t75.0815.02.024.0||t,2.0:,2.0:10HH检验统计量：拒绝域：样本计算值为不在拒绝域内，接受原假设，认为均值为0.2。2.在显著水平下，检验总体X的均值是否为0.205.016解：)1(~)1(222nSn解：由则即2.求样本方差的方差。2S2100122)(10050)2(1iixeRxexfx222)(21)(1.写出的联合概率密度函数；),,,(10021XXX100110021)(),,,(iixfxxxf99212)(442nSD)1(2)1(22nSnD三、(8分)设总体是来自总体X的一个简单随机样本。,,,),,(~100212XXXNX)1(2)1(242nSDn解之得：17xxexfx01)(niitfL1),;(),(最大似然函数为iixnxxenii011)(求对数niixnL1)(ln),(ln求导数0),(ln0)(1),(ln12nLxnLnii由最大似然原则知最大似然估计值为1ˆx1ˆxx最大似然估计量为1ˆX1ˆXX四(10分).设是来自总体X的一个样本，X的密度函数为nXXX,,,21求与的矩估计和最大似然估计量(1)最大似然函数估计量nxxx21设一组样本值为18)(1XE解之得21211dxxxf)(dxexxc1)(22XEdtxfx