石群自动控制原理(第8章部分)

第八章第八章非线性非线性控制系统分析控制系统分析88--11非线性控制系统的概述非线性控制系统的概述88--22常见非线性常见非线性特性及其对系统运动的影响特性及其对系统运动的影响88--33相平面法相平面法88--44描述函数描述函数法法88--55非线性控制的非线性控制的逆系统逆系统方法方法88--66非线性控制系统设计非线性控制系统设计88--44描述函数描述函数法法1940年，达尼尔(P.J.Daniel)首先提出描述函数法。基本思想：当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性近似等效频率特性，即描述函数。此时，非线性系统近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。描述函数法主要用来分析在无外作用时，非线性系统的稳定性和自振荡稳定性和自振荡问题，并且不受系统阶次限制。描述函数法对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定的要求，故描述函数法是近似分析方法，应用该方法有一定的限制条件。描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。1.描述函数的基本概念⑴描述函数的定义设非线性环节输入输出描述为，当非线性环节输入为时，可对非线性环节的稳态输出进行谐波分析。一般情况下，为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数：其中，为直流分量；为第n次谐波分量，且有：()yfx=()sinxtAtω=()yt()yt0011()(cossin)sin()nnnnnnytAAntBntAYntωωωϕ∞∞===++=++∑∑0Asin()nnYntωϕ+22nnnYAB=+arctannnnABϕ=式中，，为傅里叶系数，以下式描述：nAnB201()cosnAytntdtπωωπ=∫201()sinnBytntdtπωωπ=∫(1,2,)n=2001()2Aytdtπωπ=∫，直流分量：若且当时，均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量仅有一次谐波分量：00A=1nnY1111()cossinsin()ytAtBtYtωωωϕ≈+=+上式表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数描述函数，用表示：()NA例8-3设继电特性为试计算该非线性特性的描述函数。解：1()111()()jjNAYBjANANAeeAAϕ∠+===描述函数为：,0(),0MxyxMx−⎧=⎨⎩()sinxtAtω=,0(),2MtytMtωππωπ⎧=⎨−⎩220001()[]022MAytdtdtdtππππωωωππ==−=∫∫∫20[sinsin]0Muuππππ=−=2210014()sin[coscos]MMByttdtuuππππωωπππ==−+=∫114()BjAMNAAAπ+==()sinxtAtω=,0(),2MtytMtωππωπ⎧=⎨−⎩221001()cos[coscos]MAyttdttdttdtππππωωωωωωππ==−∫∫∫一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率的函数。继电特性描述函数：ω当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位与无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。情况情况1/31/3：对于直流分量，若非线性环节的正弦响应为关于t的奇对称函数奇对称函数，即f(-x)=-f(x)ω0A()(sin)()ytfAtytπωω==−+2200011()[()()]22Aytdtytdtytdtππππωωωππ==+∫∫∫tuωωπ=+0001[()()]2Aytdtyuduπππωωπω=++∫∫001[()()]02ytdtyuduππωωπ=+−=∫∫取变换：当非线性特性为输入x的奇函数时，即,则：()()fxfx−=−()[sin()][sin()]ytfAtfAtππωπωωω+=+=+[sin]()()()fAtfxfxytω=−=−=−=−()yt1B1A102()sinByttdtπωωπ=∫102()cosAyttdtπωωπ=∫()yt()()ytyt=−−即为t的奇对称函数奇对称函数，直流分量为0。计算、：0A情况情况2/32/3：若为奇函数，即，计算描述函数。21011()cos()cosAyttdtyttdtπππωωωωππ−==∫∫001[()cos()cos]yttdtyttdtππωωωωπ−=+∫∫001[()cos()()cos]0yttdtyttdtππωωωωπ=−−+=∫∫10A=情况情况3/33/3：若为奇函数，且为半周期对称，即()()ytytπω=−2104()sinByttdtπωωπ=∫()yt，则10A=例8-4设某非线性元件的特性为试计算其描述函数。解：因为为的奇函数，则。311()24yxxx=+()yxx00A=()sinxtAtω=33()sinsin24AAytttωω=+t10A=2104()sinByttdtπωωπ=∫32422004[sinsin]24AAtdttdtππωωωωπ=+∫∫()yt为的奇函数奇函数，且半周期对称半周期对称，则：由定积分重要结论定积分重要结论：20(1)(3)4221(2)(4)531sin(1)(3)5312(2)(4)422nnnnnknnnItdtnnnknnnπωωπ−−××⎧=+⎪−−×××⎪==⎨−−×××⎪=⎪−−××⎩∫331433[]24482216AAABAπππ=+=+2113()216BNAAA==[phone][sinsin]24AABtdttdtππωωωωπ=+∫∫得则该非线性元件描述函数为00A=()()fxfx−=−()yxxt()()ytytπω+=−⑵非线性系统描述函数法分析的应用条件①非线性系统简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接，典型结构如图8-36所示。②非线性环节的输入输出特性是的奇函数。即，或在正弦输入下的输出为的奇对称函数，即，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即。③系统线性部分应具有较好的低通滤波性能。输入为正弦信号时，非线性环节输出中的高次谐波分量，经过线性部分后，由于其低通滤波作用而大大削弱。因此闭环通道内近似地只有一次谐波分量流通，从而保证应用描述函数分析方法所得结果比较准确。对于实际非线性系统，很容易满足这个条件。线性部线性部分阶次越高，低通滤波性能越好分阶次越高，低通滤波性能越好；而欲具有低通滤波性能，线性部分的极点应位于复平面的左半平面。⑶描述函数的物理意义线性系统频率特性反映正弦信号作用下，系统稳态输出中与输入同频率分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。非线性环节描述函数反映非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。因此，忽略高次谐波分量，仅考虑基波分量，非线性环节描述函数表现为复数增益的放大器。注意注意：线性系统频率特性是输入正弦信号频率的函数，与正弦信号幅值无关。由描述函数表示的非线性环节的近似频率特性则是输入正弦信号幅值的函数，因而描述函数可表现为输入正弦信号幅值的复变增益放大器，这是线性与非线性频率特性的本质区别。当非线性环节频率特性由描述函数近似表示后，就可以推广应用频率法分析非线性系统运动性质。2.典型非线性特性的描述函数典型非线性特性具有分段线性分段线性特点，描述函数计算重点是确定正弦响应曲线和积分区间，一般采用图解法。ωAAA()()()GjAωωϕω=∠1111()jYBjANAeAAϕ+==⑴死区饱和非线性环节输入：非线性特性：输出：()xt()yx()yt(,())yΔΔ(,())aya()yttω1ϕ2ϕ输出的数学表达式：输出的数学表达式：112200()(sin)()2tytKAttKatωϕωϕωϕϕωπ≤≤⎧⎪=−Δ≤⎨⎪−Δ≤⎩1arcsinAϕΔ=2arcsinaAϕ=因奇函数，；因奇函数且半周期对称：112200()(sin)()2tytKAttKatωϕωϕωϕϕωπ≤≤⎧⎪=−Δ≤⎨⎪−Δ≤⎩1arcsinAϕΔ=2arcsinaAϕ=00A=10A=2210014()sin()sinByttdtyttdtππωωωωππ==∫∫()yt21224[[(sin)]sin()sin]KAttdtKatdtϕπϕϕωωωωωπ=−Δ+−Δ∫∫212224[(sinsin)()sin]KAttdtatdtϕπϕϕωωωωωπ=−Δ+−Δ∫∫22112241[(sin2)cos()cos]24KtAttatϕϕπϕϕϕωωωωπ=−+Δ−−Δ()yx21212124[()sin2sin2coscos()cos]244KAAAaϕϕϕϕϕϕϕπ=−−++Δ−Δ+−Δ24[arcsinarcsin1()222KAaAAaaAAAAπΔ=−−−2221()1()1()]2AaaAAAAΔΔΔ+−+−−Δ−222[arcsinarcsin1()1()]KAaaaAAAAAAπΔΔΔ=−+−−−222()[arcsinarcsin1()1()],KaaaNAAaAAAAAAπΔΔΔ=−+−−−≥续22112241[(sin2)cos()cos]24KtAttatϕϕπϕϕϕωωωωπ=−+Δ−−Δ快乐的坚持！取时，得饱和特性的描述函数为：去掉死区，留下饱和！0Δ=22()[arcsin1()],KaaaNAAaAAAπ=+−≥222()[arcsinarcsin1()1()],KaaaNAAaAAAAAAπΔΔΔ=−+−−−≥取，即时，得死区特性的描述函数为：去掉饱和，留下死区！22πϕ=1aA=22()[arcsin1()],2KNAAAAAππΔΔΔ=−−−≥Δ222()[arcsinarcsin1()1()],KaaaNAAaAAAAAAπΔΔΔ=−+−−−≥⑵死区与滞环继电非线性环节注意分析滞环与输入信号及其变化率的关系，通过作图法，得输出如图8-38，及表达式为：112200()0tytMttωϕϕωϕϕωπ≤⎧⎪=≤≤⎨⎪≤⎩1arcsinhAϕ=2arcsinmhAϕπ=−由图知，为奇对称函数，但不是奇函数。()yt102()cos0Ayttdtπωωπ=≠∫102()sinByttdtπωωπ=∫00A=112200()0tytMttωϕϕωϕϕωπ≤⎧⎪=≤≤⎨⎪≤⎩1arcsinhAϕ=2arcsinmhAϕπ=−2110222()coscos(1)MhAyttdtMtdtmAπϕϕωωωωπππ===−∫∫211022()sinsinByttdtMtdtπϕϕωωωωππ==∫∫222[1()1()]MmhhAAπ=−+−22222()[1()1()](1),MmhhMhNAjmAhAAAAππ=−+−+−≥11()BjANAA+=死区滞环继电22222()[1()1()](1),MmhhMhNAjmAhAAAAππ=−+−+−≥0h=4()MNAAπ=1m=24()1(),MhNAAhAAπ=−≥1m=−2244()1(),MhMhNAjAhAAAππ=−−≥①理想继电：②死区继电：③滞环继电：3.非线性系统的简化前述非线性系统的描述函数分析，根据图8-36所示典型结构。当系统由多个非线性环节和多个线性环节组成时，在一些情况下在一些情况下，可通过等效变换使系统简化为典型结构形式。等效变换原则原则是在的条件下，根据非线性特性串、并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节，再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简化线性部分。()0rt=⑴非线性特性的并联若两个非线性特性输入相同，输出相加、减特性输入相同，输出相加、减，则等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。如图8-39所示为死区非线性和死区继电非线性并联的情况。由描述函数定义，并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和。⑵非线性特性的串