石群自动控制原理(第9章)完整版

第九章第九章线性系统线性系统的的状态空间状态空间分析与综合分析与综合99--11线性系统的线性系统的状态空间描述状态空间描述99--22线性系统的线性系统的可控性与可观性可控性与可观性99--33线性定常系统的线性定常系统的反馈结构反馈结构及及状态观测器状态观测器99--44李雅普诺夫李雅普诺夫稳定性分析稳定性分析99--55控制系统状态空间设计控制系统状态空间设计9凯莱-哈密顿定理设n阶矩阵A的特征多项式：则A满足其特征方程，即推论1矩阵A的次幂可表示为A的n-1阶多项式：式中与A阵的元素有关。1110()nnnfIAaaaλλλλλ−−=−=++++1110()nnnfAAaAaAaI−−=++++()kkn≥10,nkmmmAAknα−==≥∑mα9秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控状态完全可控的充分必要条件是：其中，A为n维方阵；称为系统的可控性判别阵。0()()(),(0),0xtAxtButxxt=+=≥1nrankBABABn−⎡⎤=⎣⎦1nSBABAB−⎡⎤=⎣⎦9PBH秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控状态完全可控的充分必要条件是：式中，是矩阵A的所有特征值。另一种等价描述为：说明说明：因为这个判据是由波波夫(Popov)和贝尔维奇(Belevitch)首先提出，并由豪塔斯(Hautus)昀先指出其可广泛应用性，故称为PBH秩判据。0()()(),(0),0xtAxtButxxt=+=≥(1,2,,)iinλ=[];1,2,,irankIABninλ−==[];ranksIABnsC−=∀∈9对角线规范型判据线性定常连续系统：矩阵A的特征值两两相异，变为对角线规范型：系统完全可控的充要条件不包含元素全为零的行12,,,nλλλ1200nxxBuλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦0()()(),(0),0xtAxtButxxt=+=≥B4.4.输出可控性输出可控性如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。99输出可控性输出可控性(与与状态可控状态可控没有必然联系没有必然联系)若在有限时间间隔内，存在无约束分段连续控制函数能使任意初始输出转移到任意昀终输出，则称此系统是输出完全可控输出完全可控，简称输出可控。¾¾输出可控性判据输出可控性判据设线性定常连续系统的状态空间描述为：[]01,tt[]01(),,utttt∈0()yt1()yt[]01,(0),0,xAxBuxxttyCxDu=+=∈=+输出可控性矩阵：输出可控充要条件是10nSCBCABCABD−⎡⎤=⎣⎦(1)qnp×+0rankSq=111111()100()1010()()()()()tAtAtttAtAttxtexeButdtytCexCeButdtDut−−=+=++∫∫[]01,(0),0,xAxBuxxttyCxDu=+=∈=+系统式中，u为p为输入向量；y为q维输出向量；x为n维状态向量。状态空间表达式的解为：5.5.线性定常连续系统的线性定常连续系统的可观测性判据可观测性判据考虑时系统的状态方程和输出方程为：式中，x为n维状态向量，y为q维输出向量。A为常值矩阵，C为常值矩阵。¾¾格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据上述系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵格拉姆矩阵为为非奇异非奇异。格拉姆矩阵格拉姆矩阵0u=0,(0),0,xAxxxtyCx==≥=nn×qn×10t110(0,)TtAtTAtMteCCedtΔ=∫1nCCAranknCA−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦21()()TTTTTTnTrankCACACACn−⎡⎤=⎣⎦¾秩判据线性定常连续可观充要条件可观测阵9PBH秩判据线性定常连续系统：其完全可观测完全可观测的充分必要条件是：式中，是A的所有特征值。9对角线规范型判据上述系统完全可观测充要完全可观测充要条件是：当A特征值两两相异时，对角线规范型中不包含全零列。0,(0),0,xAxxxtyCx==≥=(1,2,,)iinλ=;1,2,,;iiCrankninIACranknsCIAλλ⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦⎡⎤=∀∈⎢⎥−⎣⎦120,0nxxyCxλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦12,,,nλλλC¾¾数学基础数学基础矩阵的对角化矩阵的对角化一个矩阵如果和对角阵相似，则称这个矩阵可对角化。99矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件设方阵A可对角化，即A与相似,则存在可逆阵P，使得：即。是A的n个线性无关特征向量，是A的n个特征值。12(,,,)nDdiagλλλ=1PAPDAPPD−==12121212121122(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)1,2,,0,1,2,,nnnnnnniiiiPXXXAXXXXXXdiagAXAXAXXXXAXXinXinλλλλλλλ=====≠=12,,,nXXX12,,,nλλλ‹定理1：n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。‹定理2：属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的。‹定理3：若n阶方阵A有n个相异特征值，则A可对角化，且注意注意：定理3的逆命题不成立。例如，n阶单位阵I是可对角化的，但其n个特征值都为1，非互异。‹定理4：设为n阶方阵A的s个互异特征值，是A的属于的个线性无关的特征向量,。则下述向量线性无关：12,,,nλλλ1211212(,,,)(,,,)(,,,)nnnAdiagPXXXPAPdiagλλλλλλ−==∼12,,,sλλλ12,,,iiiimXXXiλim1,2,,is=12111212122212,,,;,,,;;,,,smmsssmXXXXXXXXX‡‡小结小结当A的特征多项式方程有重根时，如果每个特征值都每个特征值都有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征向量有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征向量的话，A也可以对角化。在复数域中，对A的特征多项式进行因式分解，即：称为的代数重数。每个特征值有一个特征子空间，称特征子空间的维数为的几何重数，记作。‹定理5：n阶复方阵A的特征值的几何重数小于等于代几何重数小于等于代数重数数重数。121212()()()(),,snnnAsijsfijnnnnλλλλλλλλλ=−−−≠≠+++=iniλ,1,2,,iVisλ=iVλimiimn≤iλiλ‹定理6：n阶复方阵A的特征多项式为：则：9求相似对角阵的方法⑴求解A的特征值121212()()()(),,snnnAsijsfijnnnnλλλλλλλλλ=−−−≠≠+++=1,1,2,,(),1,2,,iisiiiimnismnrIAnnisλ====−=−=∑方阵A可对角化1()(),,isnAiijifIAijλλλλλλ==−=−≠≠∏⑵计算的秩，，然后判断秩的关系。若，则A可对角化，否则A不可对角化。⑶可对角化时，对，求的基础解系，得。⑷其中有个。例1判断是否可对角化？解：⑴求A的特征值。iIAλ−1,2,,is=(),1,2,,iirIAnnisλ−=−=,1,2,,iisλ=1211121212221211122(,,,;,,,;;,,,)(,,;,,;;,,)snnsssnssPXXXXXXXXXPAPdiagλλλλλλ−==()0iIAXλ−=12,,,,1,2,,iiiinXXXis=in,1,2,,iisλ=0100A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⑵例2设解：⑴211110,0,2001()100IAnrIArλλλλλλ−−=====−⎡⎤−==⎢⎥⎣⎦11()rIAnnλ−≠−由于所以A不可对角化。122212221A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦判断A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P，使为对角阵。1PAP−2112211122212(5)(1)2215,1;1,2;1IAnnmnλλλλλλλλ−−−−=−−−=−+−−−===−===⑵故A可对角化。⑶求解特征向量。22222()2221,321222rIArnnλ−−−⎡⎤⎢⎥−=−−−=−=−=⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦1231231231111(5)0422024202240[111]TIAXxxxxxxxxxXkX−=−−=⎧⎪−+−=⎨⎪−−+=⎩=1231231232122121222()0222022202220[101][011]TTIAXxxxxxxxxxXXkXkX−−=−−−=⎧⎪−−−=⎨⎪−−−=⎩=−=−+1121221101101,0,1101111111XXXP⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⑷111511111211311211111221101211212103121221PAPPPAP−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦5111111⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦7.7.线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换分析和设计系统时，通常需对系统进行各种非奇异变换，例如将A阵对角化、约当化、将化为可控标准型，将化为可观标准型等。⑴状态空间表达式的线性变换⑴状态空间表达式的线性变换系统：取非奇异阵P：上述称为系统P变换。系统变换目的是使阵规范化,揭示系统特性及分析计算，并不会改变系统的原有性质不会改变系统的原有性质,故称为等价变换等价变换。{},Ab{},Ac,xAxbuycx=+=A11APAPbPbccP−−===11,,,PxAPxbuycPxxPAPxPbuycPxxAxbuycxy−−=+==+==+=⋅=xPx=[]120iinIAAppPpppλλ−===‹‹系统变换的核心思想系统变换的核心思想为了分析或综合系统，将不便研究的状态空间模型进行等价变换，获得所需结果后，再引入反变换换算回原来的状态空间中去，得出昀终结果。下面概括几种常用线性变换。1)1)化化AA阵为对角型阵为对角型①设A阵为任意形式方阵，且具有nn个互异实数特征个互异实数特征值值，则A阵有n个线性无关实数特征向量，可构成非奇异变换阵P。1xPx−=12100nPAPλλλ−⎡⎤⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦12,,,nλλλ②若A为友矩阵，且有n个互异实数特征值,则下列范德蒙特(Vandermode)矩阵P可使A对角化：2)2)化化AA阵为约当型阵为约当型设A阵具有m重实特征值，其余为n-m个互异实特征值，但在求解时只有一个独立实特征向量,则只能使A化为约当阵J。12,,,nλλλ012111101000010,0001nAPaaaa−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦123222212311111231nnnnnnnλλλλλλλλλλλλ−−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1λiiAppλ=ip求解举例：含约当块mm×[]121mmnPppppp+=111111010mnJPAPλλλλλ−+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2mpp是广义实特征向量[][]11121211010mmpppApppλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122121()ppApAppλλ+=−=1111()mmmmmppApAppλλ−−+=−=3)3)化可控系统为可控标准型化可控系统为可控标准型单输入线性定常可控标准型可控性判别阵可控性判别阵次对角线元素都为1，故，一定可控。11100001000100101nnnaSbAbAba−−−−⎡⎤==⎣⎦××−×121nnaa−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥×⎢⎥−−××⎢⎥⎣⎦1210121010000100001nnnxxxaaaax−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦1210001nnxxuxx−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Sdet0S≠结论结论：一个可控系统，当A,b不具有可控标准型时，一定可以选择适当的变换化为可控标准型。著名的变换1111xAxbuxPzPzAPzbu