高等数学(同济版)第一章习题

机动目录上页下页返回结束1/13第一章函数、极限、连续习题课机动目录上页下页返回结束2/13一、关于极限的计算1、利用极限的运算法则和函数的连续性（不满足运算条件的可通过：分解因式、有理化、分离无穷小、通分等方法恒等变形）2、利用无穷小的性质（无穷小与有界量乘积是无穷小；无穷小与无穷大互为倒数）3、利用等价无穷小代换（注意：一定是因子）4、利用变量代换5、利用两个重要极限6、利用极限存在准则7、利用Axfxx)(lim0)(limxfxx0Axfxx)(lim08、利用.)(lim)(lim,)(lim)(bxgaxfbxgaxf0机动目录上页下页返回结束3/13例1求下列极限2321lim.14xxx)(lim.81221232xxx121sinlim.322xxxx)sin1ln()1(1sin1lim.420xexxx)12arcsin()11ln(lim.53231xxx机动目录上页下页返回结束4/13)sin12(lim.7410xxeexxxxxxtan)(sinlim.82xxxxxcba10)3(lim.9nnnn1)321(lim.10)sin1(sinlim.6xxx机动目录上页下页返回结束5/13解2321lim.14xxx)321)(4()4(2)2(lim4xxxxx.34)(lim.81221232xxx))((lim4221242222xxxxxx42422xxxxlim.21机动目录上页下页返回结束6/13121sinlim.322xxxx222)(1sinlimxxxxx)sin21(lim112xxxx.21)sin1ln()1(1sin1lim.420xexxxxxxxsinsinlim220.21机动目录上页下页返回结束7/13)arcsin()ln(lim.323112115xxx3231121limxxx31121limxx.2213机动目录上页下页返回结束8/13)sin1(sinlim.6xxx21sin21cos2limxxxxx1|21cos|xx212|21sin2|xxxxxx110x.0机动目录上页下页返回结束9/13)sin12(lim.7410xxeexxx)sin12(lim410xxeexxx)sin12(lim410xxeexxx)sin12(lim410xxeexxx1)1()2(lim443440xxxxxeeeeex,1)sin12(lim410xxeexxx112.1机动目录上页下页返回结束10/13xxxtan)(sinlim.28xxxesinlntanlim2xxxsinlntanlim2)cosln(cossinlimxxxx21212)cos(cossinlimxxxx2212,0.10exxxtan)(sinlim2另解2212xxxtan)cos(lim2cossincos1222)cos1(limxxxxx212221xxxxxcossincos])cos[(lim.10e机动目录上页下页返回结束11/13xxxxxcba10)3(lim.93ln10limxxxcbaxxe3ln1lim0xxxxcbax)31111ln(1lim0xxxxcbax)111(lim310xcxbxaxxxx),ln(31abc.3abc机动目录上页下页返回结束12/13nnnn1)321(lim.101解法,33])32()31(1[3)321(311nnnnnnnnn3lim又xx13lim,1由夹逼准则3)321(lim1nnnn3解法2解法nnnn1)321(lim)321ln(1limnnnne])32()31(1[3ln1limnnnnnennnne)32()31(lim3.3nnnnnnnn11])32()31(1[lim3)321(limnnnnnnnn)()()()(132313231}])32()31(1{[lim3.330e机动目录上页下页返回结束13/13例2.)(,01),1ln(0,)(11的间断点并说明类型求设xfxxxexfx解是间断点，1x)(lim1xfx111limxxe,.)(1点的第二类（无穷）间断是xfx)(lim0xfx又110limxxe,1e)(limxfx0)1ln(lim0xx,0.)(0点的第一类（跳跃）间断是xfx二、关于函数的连续性机动目录上页下页返回结束14/13例3.1,2cos1,1)(的连续性讨论xxxxxf解改写成将)(xf1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内连续在显然xf机动目录上页下页返回结束15/13,1时当x)(lim1xfx)1(lim1xx.2)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(间断在故xxf,1时当x)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim1xfx)1(lim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(连续在故xxf.),1()1,()(连续在xf02cos)1(f机动目录上页下页返回结束16/13.)0,(sin4bababxax且不超过至少有一个正根，证明方程例令证,sin)(bxaxxf上连续，在则],0[)(baxf.)]sin([)(,)(0100baabafbf且,)(0baf若即为方程的根；则ba,)(0baf若,0)(),,0(fba使在一点则由零点定理，至少存.为方程的根即.sinbabxax且不超过至少有一个正根，综上所述，方程机动目录上页下页返回结束17/13例5).()21(),1,0(),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设证明),()21()(xfxfxF令.]21,0[)(上连续在则xF),0()21()0(ffF)21()1()21(ffF讨论:,0)21()0(FF若,21则);21()2121(ff),21()0(ff机动目录上页下页返回结束18/13则若,0)21(,0)0(FF)21()0(FF2)]0()21([ff.0由零点定理知,.0)(),21,0(F使.)()21(成立即ff综上,),1,0(]21,0(必有一点.)()21(成立使ff