高等数学(同济版)第五章复习资料

1第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(xfxfy、x轴以及两条直线ax、bx所围成,求其面积A.①．大化小(分割)：在区间],[ba内任意插入1n个分点bxxxxxann1210，用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用iA表示第i个曲边梯形的面积;②．常代变(近似代替)：在第i个窄曲边梯形的底上任取],[1iiixx，有iiixfA)(.③．近似和(求和)：niiAA1niiixf1)(.④．取极限：令}{max1inix，则niiAA10limniiixf10)(lim.2.变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度)(tvv在时间间隔],[21TT上连续，且0)(tv，求在运动时间内物体所经过的路程s.①．大化小(分割)：在区间],[21TT内任意插入1n个分点btttttann1210，将它分成n个小段),,2,1(],[1nittii，用is表示物体第i个小段上经过的路程;②．常代变(近似代替)：在第i个小段上经过的路程任取],[1iiitt，有iiitvs)(.③．近似和(求和)：iniitvs1)(.④．取极限：令}{max1init，则iniitvs10)(lim.这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念.二、定积分的相关概念21．定积分:设函数)(xf在区间],[ba上有界，若在区间],[ba内任意插入1n个分点bxxxxan210，任取],[1iiixx，记1iiixxx，只要0}{max1inix，和式极限iniixf10)(lim总存在，则称此极限为)(xf在],[ba上的定积分,记作baxdxf)(，即baxdxf)(iniixf10)(lim，此时也称)(xf在区间],[ba上黎曼可积.注：1°.引例中，曲边梯形的面积Abaxdxf)(；路程21)(TTtdtvs.2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxdxf)(batdtf)(bauduf)(.3°.在定积分定义中，要求积分上限b大于积分下限a，为了方便起见，规定：当ba时，baxdxf)(abxdxf)(；当ba时，baxdxf)(0.4°.定积分定义中0意味着区间的分割越来越细.0时必有小区间的个数n，但n并不能保证0(不等分的时候，当等分的时候n0.)5°.若已知)(xf在],[ba上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如n等分)和特殊的取点i(例如取iix或1iix)来计算定积分.2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”.3.函数可积的条件(1).必要条件：定理1.若)(xf在],[ba上可积，则)(xf在],[ba上有界.反之未必，例如：狄利克雷函数QxQxxf,0,1)(在]1,0[上有界，但不可积,因为定义中的积分和的极限不总存在.(2).充分条件：定理2.若)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上可积.反之未必，例如21,110,0)(xxxf在]2,0[上可积，但)(xf在]2,0[上有一个间断点1x.定理3.若)(xf在],[ba上有界，并且只有有限个间断点，则)(xf在],[ba上可积.3定理4.若)(xf在],[ba上单调且有界，则)(xf在],[ba上可积.例1.利用定义计算定积分xdx102.解：将区间]1,0[进行n等分,分点为nixi),,1,0(ni，取nii，nxi1，),,2,1(ni.则iiiixxf2)(32ni，于是iinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnnnn121161，所以iniixxdx120102limnnn121161lim31.例2.用定积分表示下列极限:1.ninnin111limnninin11lim1xdx101.2.121limppppnnnnninipn1lim1xdxp10.三、定积分的性质(设所列定积分都存在)1.线性性质1.xdxfkxdxfkbaba)()((k为常数).性质2.bababaxdxgxdxfxdxgxf)()()]()([.2.积分区间的可加性性质3.设bca，则有bccabaxdxfxdxfxdxf)()()(.3.保序性性质4.若在],[ba，0)(xf，则0)(xdxfba.性质5.若在],[ba，)()(xgxf，则xdxgxdxfbaba)()(.4.绝对不等式性性质6.xdxfba)(xdxfba)(.5.介值性性质7.设M和m是)(xf在],[ba上的最大值和最小值，则)()()(abMxdxfabmba.4性质8.abxdba1.6.中值性性质9.(积分中值定理)若)(xf在],[ba上连续，则至少存在一点],[ba，使得))(()(abfxdxfba.证明：设)(xf在],[ba上的最大值和最小值为M和m，则由介值性得Mxdxfabmba)(1，再由闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点],[ba，使xdxfabfba)(1)(.注：1°.积分中值定理对ba或ba的情形都成立.2°.称xdxfabfba)(1)(为)(xf在],[ba上的平均值.因为abxdxfba)(nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn，故它是有限个数的平均值概念的推广.3°.积分中值定理的几何意义:以)(xfy为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以)(f为的矩形的面积.第二节微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系在变速直线运动中,已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间满足：)()(tvts，即)(ts是)(tv的原函数.又物体在时间间隔],[21TT内经过的路程为)()()(1221TsTstdtvsTT，即速度函数)(tv在区间],[21TT上的定积分tdtvTT21)(等于)(tv的原函数在],[21TT上的增量.这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.二、积分上限函数及其导数1.积分上限函数：若函数)(xf区间],[ba上可积，则称函数]),[()()(baxtdtfxxa为积分上限函数，或变上限积分.5注：积分上限函数tdtfxxa)()(在],[ba上连续.推导：],[0bax，有tdtftdtfxxxxa00)()()(，当0xx时，0)(0tdtfxx，于是)()()(lim000xtdtfxxaxx，即tdtfxxa)()(在],[ba上连续.2.积分上限函数的导数：定理1.若函数)(xf在区间],[ba上连续，则积分上限函数tdtfxxa)()(在],[ba上可导，并且)()()('xftdtfxddxddxxa)(bxa.证明:),(,baxxx，则有xxxx)()(xaxxatdtftdtfx)()(1xxxtdtfx)(1)(f)(xxx(积分中值定理)，又)(xf在],[ba上连续，故有xxxxxx)()(lim)('0)(lim0fx)(xf.若ax，取0x，可证)('a)(af；若bx，取0x，可证)('b)(bf.注：其它变限积分求导:1°.bxtdtfxdd)(xbtdtfxdd)()(xf；2°.)()(xatdtfxdd)()]([xxf；3°.)()()(xxtdtfxdd)()()()(xaaxtdtftdtfxdd)()]([)()]([xxfxxf.3.原函数存在定理：定理2.若函数)(xf在区间],[ba上连续，则积分上限函数tdtfxxa)()()],[(bax就是)(xf在],[ba上的一个原函数.注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路.例1.xxextdextdexxxtxxtx2)(coslim)'(limlim222cos02'1cos00021cos0xexxx2sinlim2cos06eexxxxx21limsinlim212cos00.例2.设)(xf在),0[内连续且0)(xf，证明tdtftdtftxFxx00)()()(在),0[内单调增加.证明：由于)(xF2000)()()()()(tdtftdtftxftdtfxfxxxx2000)()()()()(tdtftdtftxftdtxfxfxxx200)()()()(tdtftdtftxxfxx20)()())((tdtfxfxxfx)0(x(积分中值定理)0，所以)(xF在),0[内单调增加.4.函数存在原函数与函数可积的关系：(1).函数存在原函数，但不一定可积.例如：对函数0,00,1sin)(22xxxxxf，由于0,0001sinlim0,1cos21sin2)('22022xxxxxxxxxxfx，令)(')(xfxg，即函数)(xg在区间],[aa上具有原函数，但由于)(xg在],[aa无界，所以)(xg在],[aa不可积，事实上，取021nx)(n，有)2cos(22)2sin(2221nnnnngn220)(n，即)(xg在],[aa无界.(2).函数可积，但不一定存在原函数.例如：函数21,110,0)(xxxf在]2,0[除了一个间断点1x外都连续，所以)(xf在]2,0[上可积，但)(xf在]2,0[上不存在原函数.7(3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：QxQxxf,0,1)(.三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3.(微积分基本定理)设函数)(xf在区间],[ba上连续，若函数)(xF是)(xf在],[ba上的任一原函数，则)()()(aFbFxdxfba.证明：由于积分上限函数tdtfxa)(是)(xf的一个原函数，故)(xFCtdtfxa)(，令ax，得)(aFC，因此)()()(aFxFxdxfxa；再令bx，得)()()(aFbFxdxfbabaxF)(.注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数)(xf在],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数)(xF在],[ba上的增量.微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数)(xf在],[ba上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：定理3’设函数)(xf在区间],[ba上有界，且有有限多个间断点，若存在