高等数学,同济大学第六版,2_习题课

求导法则基本公式导数xyx0lim微分xydy关系)(xodyydxydyydxdy高阶导数一、主要内容第二章习题课1、导数的定义定义.)()(limlim00000xxfxxfxyyxxxx右导数:左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.2、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx（基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxarcxxxxeexctgxxxxxxxxxx3、求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)((c是常数),（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx则有的反函数为如果函数(3)复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设(4)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导(或求微分).,)()(间的函数关系与确定若参数方程xytytx;)()(1)()(ttdtdxdtdydttdttdxdy.)(1))()((22tttdxydt(5)参变量函数的求导法则(6)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu4、高阶导数,)()(lim))((0xxfxxfxfx二阶导数记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或.)(,,),(3333dxxfddxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)5、微分的定义定义.)()()(00xAdyxoxAxfxxfy6、导数与微分的关系).(,0xfA且可导可微定理7、微分的求法dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud8、微分的基本法则与基本初等函数的微分公式微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,ufyuduufdy)(基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:.可微可导★★dxxfdy)(导数与微分的区别:.))((),()(.100000的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数xxxxxfdyxfxxf.))(,()()()(,))(,()()(,.20000000的纵坐标增量切线处的在点是曲线而微分处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看xfxxfyxxxfdyxfxxfyxf★xxf)(0),()()()(000xxxfxfxf.)0()0()(xffxf,0时当x00xxxxdyy,很小时当x近似计算的基本公式★例1-1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf求设解0)0()(lim)0(0xfxffx)100()2)(1(lim0xxxx!100二、典型例题例1-2)?(lnln)()(lim,0,)(2abafbfabaafab则设abababafbfabafbfabablnln)()(limlnln)()(lim解axxaf)(ln1)(.3a3131)()1)()((lim)()(lim22233aafaabbabafbfabafbfabab33ab).()(,)2()(32的不可导点是则设xfxxxxxf.)(3的可能不可导点的不可导点为显然只有xfxx解例1-3).()(,)2()(32的不可导点是则设xfxxxxxf.)(.1,0,1,113在这些点处是否可导讨论以下由其不可导点为xfDExxxxxx21)2(lim0)0()(lim)0(2200xxxxxxfxffxx0111)2(lim1)1()(lim)1(211xxxxxxxfxffxx4111)2(lim1)1()(lim)1(211xxxxxxxfxffxx.1,0)(两点的不可导点是xxf例1-4**).()0(,sin3)()(22是阶数存在的最高则使设nfxxxxfn解.0sin2nxxx处可导的最高阶数在显然只需知道,0)(lim)0(,0)(lim)0(0sincos4sin20sincos4sin2)(,0cossin20cossin2)(,0,0sin0sin)(,sin)(101101221221122121xffxffxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxfxxxfxx处连续在且则设6)sincos4sin2(lim)0()(lim)0(6)sincos4sin2(lim)0()(lim)0(0110101101xxxxxxfxffxxxxxxfxffxxxx但xxxxf223)(2.)0(,)0(11nff不存在但).0(,sin)(23fxxxf求设例,cos31xx.)0(不存在fxxxx0sinlim310.0解法一得根据求导法则,3231)(xxfxsin无意义，0)(xxf根据导数的定义)0(f0)0()(lim0xfxfx解法二xxxxsinlim30xxxxxsinlimlim030？有问题吗.)(,005)(32的方法是否正确判断下列求设xfxxxxxf0,30,22xxxx05)0(,5)0(0ffx时，xxfx5lim)0(30!)0(不存在f!.1要用定义求分段点处的导数分段函数在注0,)(0,)5()(32xxxxxf解法一,3)(,)(023xxfxxfx时，,2)(,5)(02xxfxxfx时，解法二解法三,2)(,5)(0,3)(,)(0223xxfxxfxxxfxxfx时，时，05)5(lim)0(020xxfxx时，.,0)(.2可导故不处不连续在注xxf3例四解法不可导不连续处显然在)(0xfx0302)(2xxxxxf.,afxaxxfaxx求处连续，在设例解,xaxxxf.axfaxafxfafaxlimaxxaxax0limxaxlim.a).(,)2()(xfxxxxf求设例4解先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(222xxxxxxxxxxf,0时当x,0)0()0(ff;0)0(f,002lim20xxxx,002lim20xxxxxfxffx)0()(lim)0(0xfxffx)0()(lim)0(0,20时当x;43)(2xxxf,02时或当xx;43)(2xxxf.2,0点以下由定义讨论x,2时当x2)2()(lim)2(2xfxffx2)2(lim22xxxx.42)2()(lim)2(2xfxffx2)2(lim22xxxx.4),2()2(ff.2)(处不可导在xxf,20,43,0,002,43)(22xxxxxxxxxf或,2),2(20),2(0),2()(222xxxxxxxxxxf例5.,45202tdxdytttyttx求设解分析:,,0导数不存在时当tt,,,0不存在时当dtdydtdxt不能用公式求导.tttttxytx24)(5limlim200)sgn(2)]sgn(45[lim0tttt.0.00tdxdy故例6-1.,1111ln411arctan21222yxxxy求设解,12xu设,11ln41arctan21uuuy则)1111(41)1(212uuuyu411u,2142xx)1(2xux又,12xx.1)2(123xxxyxxuxuyy!求导数巧例6-2).(,ln)(],112[31dxdyxxfxxfy则设则及已知令,ln)(,11231uufxxuxuufdxdy)(112ln)1(12xxxxxu)132(ln312)1(3112ln31xxx.,)0,0()(22dxydyxxyxfyyx求所确定由方程设函数例7解两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy或322)1(ln)1(ln)1(lnyxyxxyyy,1)ln1(12xyyyy又.6,cos1)2002(坐标方程处的切线与法线的直角曲线上对应于求该是已知曲线的极坐标方程rcossinsincoscos2yx即)4321,4323(