高等数学3(6)泰勒公式-课件

1几个初等函数的麦克劳林公式小结思考题作业泰勒(Taylor)（英）1685-1731近似计算与误差估计其它应用第六节泰勒(Taylor)公式第三章微分中值定理与导数的应用泰勒公式的建立2简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分仍为多项式;(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.而其系数用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢一、泰勒公式的建立熟悉的函数来近似代替复杂函数.—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒公式3)(xf,)(0存在若xfxxx0记xxfxfxxf)()()(000回想微分附近有在0x))(()()(000xxxfxfxf,0时当xx.)(0高阶的无穷小其误差是比xx一次多项式))(()(000xxxfxf)(0xxo泰勒公式4xy1xeyxy)1ln(xy（如下图）如,||很小时当x,1xex.)1ln(xx以直代曲xyOxyO泰勒公式5需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足1.精确度不高；2.误差不能定量的估计.))(()(000xxxfxf)(xf希望一次多项式附近在0x用适当的高次多项式泰勒公式2010200()()()()nnnPxaaxxaxxaxx()fx误差是的高阶无穷小0nxx问题(1)系数怎么定?(2)误差(如何估计)表达式是什么?60x)(xfyoxy猜想)()(00xfxPn)()(00xfxPn)()(00xfxPn2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交0x1.n次多项式系数的确定泰勒公式7)()(0)(0)(xfxPkkn假设nk,,2,1,02010200()()()()nnnPxaaxxaxxaxx00(),nPxa(1)由00()()nPxfx及00()afx得到01(),nPxa(2)由00()()nPxfx及10()afx得到泰勒公式802()2!,nPxa(3)由00()()nPxfx及201()2!afx得到同理可得(3)()30011(),,()3!!nnafxafxn()01(),0,1,2,,!kkafxknk即泰勒公式9从而200000()001()()()()()()2!1()()!nnnPxfxfxxxfxxxfxxxn()0001()()!nkkkfxxxk泰勒公式10说明:0()fxx当在处有直到n阶导数时,多项式泰勒公式()0001()()()!nkknkPxfxxxk0()xfx在处与有相同的函数值及直到n阶导数值.从而()0001()()()!nkknkPxfxxxk称为0()fxx在处的n阶泰勒多项式.()01(),0,1,2,,!kkafxknk称为泰勒系数.11200000()00001()()()()()()2!1()()()!()()nnnnnfxfxfxxxfxxxfxxxRxxnPxRxx公式称为0()fxx在处的n阶泰勒公式.0()nRxx称为n阶余项.注意:)()(0)(0)(xfxPkkn泰勒公式12下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.定理1(带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式)设001()fxxx函数在点的某个邻域O内有定义;2()1;fxn在此邻域内有直到阶导数03().nfx存在则200000()0001()()()()()()2!1()()().!nnnfxfxfxxxfxxxfxxxoxxn的幂展开的按称为)()(0xxxf带有皮亚诺型余项n阶泰勒公式泰勒公式1300()()lim()nnxxfxPxxx证明:对于连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定义即可证明.泰勒公式14下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近0()1,fxxn当在的某邻域内有阶导数时函数),(xf并估计它的误差.),()(xfxPn0()()().nnRxxfxPx泰勒公式15定理2(带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式)设1(),fxab函数在上有定义;2,();abfxn在上有直到阶的连续导数3,()1.abfxn在内有直到阶导数则200000(1)()100001()()()()()()2!1()()()(),!(1)!,nnnnfxfxfxxxfxxxffxxxxxnnxx其中介于与之间.0,,,xxab有泰勒(Taylor)中值定理泰勒公式16分析).()()(xPxfxRnn即证10)1()()!1()()(nnnxxnfxR).(0之间与在xx10)()(nnxxxR)!1()()1(nfn也即证)!1()()1(nfn10)()()(nnxxxPxf10)1()()!1()()(nnnxxnfxR其中).(0之间与在xx200000()()()()()()2!fxfxfxfxxxxx()00()()()!nnnfxxxRxn泰勒公式17证.1)(阶导在区间内有由于nxf)()()(xPxfxRnn),()()(xPxfxRnn10)()(nxxx),()()(xPxfxRnnnxxnx))(1()(010)()1()(nxxnnx),()()()()()(xPxfxRnnnnn)(2)1()(0)(xxnnxn),()()1()1(xfxRnnn)!1()()1(nxn令10)()(nnxxxR10)()()(nnxxxPxf)!1()()1(nfn10)(nxx)(xnkxfxPkkn,,2,1,0)()(0)(0)(由要求0000000000000000000000000000泰勒公式18,0xx设.0)(,),(0xxx且内可导在柯西定理)()(11nR)()(xxRn,],[)(),(0上连续在xxxxRn)(01之间与在xx)()(xxRn10)()(nnxxxR)!1()()1(nfn,],[)()(10上连续在及xxxRn)()(11nR)()(22nR)(102之间与在x内在),(10x柯西定理用1次用2次.0)(,x且可导10)(nxx)(x0)()()()(0)(000xRxRxRxRnnnnn)(0xRn)(0x0)()()()(0)(000xxxxn)()(11nR)(0xRn)(0x泰勒公式19)(00之间与之间也在与在xxxn如此下去,得10)()(nnxxxR)!1()()1(nfn)()()()(nnnnnR)()()1()1(nnnR)()()()(0)()(0)()(xxRRnnnnnnnn用n+1次柯西定理,)()(xxRn注意到)!1()(),()()1()1()1(nxxfxRnnnn即10)()(nnxxxR)!1()()1(nRnn可得10)1()()!1()()(nnnxxnfxR)(0之间与在xx泰勒公式20nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)())(()()(00)(200000的幂展开的按称为)()(0xxxfknkkxxkxf)(!)(000)()()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk的幂展开的按称为)()(0xxxf拉格朗日型余项)()(!1)()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn带有拉格朗日型余项.阶泰勒公式n.次近似多项式n泰勒公式21注意:(1)0,n时Taylor公式为000()()(),.fxfxfxxxx介于与之间即为Lagrange中值公式.(2)():nRx研究误差(,),xab若时(1)|()|nfxM则泰勒公式2210)1()(!)1()()(nnnxxnfxRM泰勒公式10||)!1(nxxn00()lim0()nnxxRxxx从而特别,若0,,,xxab则1()()0,(1)!nnMRxbann说明:1(),,nfxab若在上有界()(),nPxfx用逼近时()nRx误差随n的增大可任意小,因此可选取适当的n,使近似代替达到要求的任意精度.23皮亚诺型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.(意)00(3),()[()].nnxxRxoxx当时当对余项要求不高时,可用皮亚诺型余项])[()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf的幂展开的按称为)()(0xxxf带有皮亚诺型余项.阶泰勒公式的n(4)展开式是唯一的泰勒公式24(5)在泰勒公式中,故之间介于则,,0x),10(x可表为这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf).(0之间与在xx10)1(00)()()!1()()(!)(nnnnxxnfxxnxfn阶泰勒公式麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式00000000),10(0xx,00x若泰勒公式25)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2误差估计式为1||)!1(||nnxnMR1)1()!1()(nnxnxf)10(带有拉格朗日型余项)(xf带有皮亚诺型余项nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2泰勒公式26解,)()()()(xnexfxfxf1)0()0()0()0()(nffff.)()1(xnexf代入上公式,得二、几个初等函数的麦克劳林公式例1阶的求nexfx)(麦克劳林公式.nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(21)1()!1()(nnxnxf)10(麦克劳林(Maclaurin)公式xe211,(01).2!!(1)!nxnxxexxnn于是有xe的近似表达公式212!!nxxxexn泰勒公式27有误差估计式,0时当x1)!1(nxnxneR1)1()!1()()(nnnxnxfxR)10(;)!1(1nxnxe,0时当x;0nR,0时当xnR,1时当x,!1!2111ne得到.)!1(3n其误差nR)!1(ne,8n若取,718279.2e可算出其误差8R!93.||)!1(1nxn1泰勒公式28阶麦克劳林公式的求nxxfsin)(解例2因为),,2,1,0(2sin)()(nnxxfn泰勒公式所以,0)0(f,1)0(f,0)0(f,,1)0(fmnx2sin的麦克劳林公式为从而sin