第二章 一元函数微分学习题课

0()()()limxfxxfxfxxΔ→+Δ−′=Δ导数：当时,为右导数+→Δ0x)(xf+′当时,为左导数−→Δ0x)(xf−′d()()dfxfxx′=微分：一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用⇔关系：可导可微(1)利用导数定义解决的问题(3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则1()0;(ln);(sin)cosCxxxx′′′===其它求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.应用应用::20000(())()1()lim.xfxxxfxfxxΔ→+Δ+Δ−′Δ例设存在，求解:220020(())()()=lim()xfxxxfxxxxxxΔ→⎡⎤+Δ+Δ−Δ+Δ⋅⎢⎥Δ+ΔΔ⎣⎦原式0()fx′=20(sincos)2(1)0(1)lim.(1)tanxxfxxffex→+′=−例　若，且存在，求20lim(sincos)1(1)0xxxf→+==且220(sincos)limxfxxx→+=解：原式利用凑导数方法22220(1sincos1)(1)sincos1limsincos1xfxxfxxxxx→++−−+−=⋅+−1(1)(1)2f′=⋅−1(1)2f′=2()3()2lim3,(2).2xfxfxxfx→′==−例设在处连续，且求2(2)lim()xffx→=解：2()lim[(2)](2)xfxxx→=−⋅−2()(2)(2)lim2xfxffx→−′=−2()lim2xfxx→=−0=3=2(1)(1)4()lim1nxnxnxeaxbfxe−−→∞++=+例设，2,11()(1),12,1axbxfxabxxx+⎧⎪⎪=++=⎨⎪⎪⎩解：1,();1()2.xfxaxfxx′′==时时，(1)(1)(1)(1)(1)fffff−+−+⎧==⎨′′=⎩()1fxx=利用在处可导，得11(1)22ababa⎧+==++⎪⇒⎨⎪=⎩,.ab确定使其可导并求导数2,1,(1)2abf′∴==−=2,1()2,1xfxxx≤⎧′=⎨⎩()fx′是否为连续函数？1,()1()2.xfxaxfxx′′==时；时，2,11()(1),12,1axbxfxabxxx+⎧⎪⎪=++=⎨⎪⎪⎩21sin,05(),0,0xxfxxx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩例设2001lim()limsinxxfxxx→→=解：2001sin()(0)limlimxxxfxfxxx→→−=又()0.fxx⇒=在处连续0(0)f==01limsin0xxx→==(0)0f′⇒=()0fxx=讨论在处的连续性和可导性。()0fxx⇒=在处可导.1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法极坐标方程求导(3)参数方程求导法(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.二、二、导数和微分计算方法导数和微分计算方法sin11sin(arctan),'().xxyeeffyxx=+例设可微，求sinsindsind()d(sin)xxxxyeeee=+解：11(arctan)d(arctan)fxx′+sinsinsind(sin)cosd()xxxxxeexeee=⋅+⋅2111(arctan)d()11fxxx′+⋅+sin(cossincos)dxxxxexeeex=+211(arctan)d1fxxx′−+ddyyx′∴==20()(),,,,0()0(),0xgxgxabcaxbxcxfxxgxx′′≤⎧++==⎨≤⎩例2设时有定义，存在，确定使在处二阶可导。(0)f′′解：由存在，(1)()0(0)(0)(0),(0)fxxfffcg+−====由在连续，得(0)(0),ff+−′′=(2)利用0()(0)(0)lim(0)0xgxgfgx−−−→−′′==−20()(0)(0)lim0xaxbxcgfbx++→++−′==−(0)bg−′⇒=(3)(0)(0),ff−+′′′′=利用0()(0)(0)lim(0)0xgxgfgx−−−−→′′−′′′′==−0(2)(0)lim20xaxbbfax++→+−′′==−1(0)2ag−′′⇒=(0),(0)cgbg−′==2,0()(),0axbxcxfxgxx⎧++=⎨≤⎩22222d3(),.dsin1(01)xttyyyxxtyyεε⎧=+=⎨−+=⎩例设由确定求解:方程组两边对t求导,得(1)(1cos)dydydxtdtdttydxε⇒==+−222(1)22cos01cosdxdxttdtdtdydydyttydtdtdtyεε⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪−+==⎪⎪−⎩⎩22(1)(1cos)2(1)dtdydttydydxdxdxtdtddtε⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠⎝⎠==+32(1cos)(1)sin2(1)(1cos)dyyttydttyεεε−−+=+−2233(1cos)2(1)sin2(1)(1cos)yttytyεεε−−+=+−130()4()lim(1).xxfxfxxex→++=例设二阶连续可导,且10()(0),'(0),(0)lim1.xxfxfffx→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦求及0()ln(1)lim3xfxxxx→++=解1：，0()limln(1)0.xfxxx→⇒++=0()lim()0xfxxx→⇒+=0()lim0xfxx→⇒=0lim()(0)0xfxf→⇒==22(0)()(0)'(0)()2ffxffxxox=+++22(0)'(0)().2ffxxox=++()(0)'(0)().2fxffxoxx∴=−+0x→取极限得000()(0)'(0)limlimlim()02xxxfxffxoxx→→→=−+=()(0)()2fxfxoxx=+将代入得130()lim(1)xxfxexx→=++10(0)lim(1())2xxfxxox→=+++(0)12fe+=(0)31,(0)4.2ff⇒=+=1100()(0)lim(1)lim(1())2xxxxfxfxoxx→→+=++10lim(12())xxxox→=++2e=220()limxxfxx→+=130()lim(1)xxfxexx→=++()1()0()lim(1)fxxxfxxxxxfxxx+⋅+→=++00()()3limlim0,(0)0xxfxxfxxfxx→→+⎡⎤⇒===⎢⎥⎣⎦[]02'()lim'(0)02xxfxfx→+==[]02()lim(0)42xfxf→+==本题另解22(0)()(0)'(0)()2ffxffxxox∴=+++222()xox=+1100()lim(1)lim(12())xxxxfxxoxx→→+=++12()2()0lim(12())xoxxoxxxxox++→=++2e=2(1)()(1)(2)(21)arctan(1)2(1)0(0)(50).nnnkkyxxynxynnyyy+−+=+++−=已知，求证：,例并求2222231262,,,1(1)(1)xxyyyxxx−−′′′′=″==+++解：2(1)222(21)xyxyy′′′++⋅″+−′222222622142(1)(1)1xxxxxx−−=+⋅+⋅+++2222262822(1)xxxx−−++=+0=2()(1)(2)(1)2(1)(1)(2)0nnnxynxynny−−++−+−−=设两边求导得：2()(1)(2)[(1)2(1)(1)(2)]nnnxynxynny−−++−+−−′()2(1)(1)()(1)2(1)2(1)2(1)(1)(2)nnnnnxyxynynxynny+−−=+++−+−+−−2(1)()(1)(1)2(1)0nnnxynxynny+−=+++−=(2)(22)21:(0)(21)(22)(0)0kknkykky−=−+−−=令可得(2)(22)(0)(21)(22)(0)kkykky−⇒=−−−(2)(0)0(0)0(0)0kyyy=″=⇒=而232233516:3()(1);(2).()()dxdyydxydxyyydyydyy=′′′′′′′′′−=−=′′例利用，证明221(1)dxdxddddydyydxdxdxdydxdydxdydy⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟′⎝⎠⎝⎠⎝⎠==⋅=⋅证明：231()()yyyyy′′′′=−⋅=−′′′222233(2)dxdxdddydydxdxdydxdydy⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠==⋅3()ydydxdxdy′′⎛⎞−⎜⎟′⎝⎠=⋅243()1()yyyyy′′′′′′−=⋅′′253()()yyyy′′′′′′−=′拉格朗日中值定理()()fafb=三、三、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理()0fξ′=xyoab)(xfy=ξ()()()()()()ξξ′−=′−fbfafFbFaF()()()fbfafbaξ−′=−()()()Fxxfafb==(1)110(1)!()()nnnfxxξ++++−柯西中值定理xxF=)(ξxyoab)(xfy=泰勒中值定理000()()()()fxfxfxxx′=+−()100!()()nnnfxxx++−0=n2.2.微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论3.3.有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.1()[1,2],(1)(2)0,fxff==例若在上二阶可导且2()(1)()(1,2)()0.gxxfxgξξ=−∃∈=,证明，,使[1,2]R(1,2)'()0.ugu∃∈=证明：在上使用定理,,使2'()2(1)()(1)'(),gxxfxxfx=−+−'(1)0,'()0,[1,]Rgguu==在上使用定理,(1,2)()0.gξξ∃∈=,使例例22设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1,(0,3),()0.fffffξξ′++==∃∈=证明,使(0)(1)(2),().3fffcfc++=欲找到一点使(0)(1)(2)1,(3)1.3ffff++==分析：条件写为证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故(0)(1)(2)(0),(1),(2)3fffmfffMmM++≤≤⇒≤≤[0,2],c∃∈由介值定理，使(0)(1)(2)()13ffffc++==()(3)1,()[,3](,3),fcffxCcDc==∈∵∩且,(,3)(0,3),()0.Rcfξξ′∃∈⊂=由定理使3()[,),lim()xfxafx→+∞+∞例若在上可导且lim'(),lim'()0.xxfxfx→+∞→+∞=和存在证明，[,)[,1]Lxaxx∀∈+∞+证明：，在使用定理(1)()'()(1)()1fxfxffxfxxxξ+−==+−+−(,1)xxξ∈+lim'()lim[(1)()]0xffxfxξξ→+∞→+∞=+−=lim'()lim'()0xfxfξξ→+∞→+∞∴==4()[0,),(0,)fx∈+∞+∞例设上有界连续单增，在()0,lim'()0.xfxfx→+∞=上二阶可导,证明，'()0.(