大一下(高代)期末

2006－2007学年第二学期高等代数A期末试题考试时间2007年6月28日上午8：00-10：00一、填空题（每小题4分，共24分）1．设V为实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中12210000,(13)00Ai，则V的维数是，其一组基为。2．实二次型112222(,)41xxxx的矩阵为，秩为，正惯性指数为，规范形为．3．设三级方阵A的三个特征值为1、2、－2，矩阵B与A相似，则B的伴随矩阵*B的三个特征值为.4．方程134,21,1212AXBAB其中的最小二乘解为。5．在4[]Rx中定义内积为11(,)()()fgfxgxdx，则21()3fxx的长度是，若()1gxx，则((),())fxgx。6．数域P上n维线性空间V的全体线性变换所构成的线性空间L(V)的维数为.二、选择题（每题4分，共24分，题中只有一个选项正确）1．若A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵1TPAP的属于特征值的特征向量是11())A(B)(C)(D)(TTPPPP2．设A是n阶非零矩阵，且50A，下列命题中正确的是(A)BAA的特征值全为0；（）可对角化；(C)DAA不可逆；（）只有线性无关的特征向量。3．设矩阵abAba，其中220,1,abab则A为(A)正定矩阵；（B）初等矩阵；（C）正交矩阵；（D）以上都不对。4．设矩阵A与B相似，则必有（A）A，B同时可逆或不可逆；（B）A，B有相同的特征向量；（C）A，B均与同一个对角矩阵相似；（D）矩阵EA与EB相等。5．设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则矩阵与A有相同的特征值。111(A)B)TTTBQAQBBQAQB；（）(；1(C)B).TTTTBQAQBBQAQB；（）(6．设A为实对称矩阵。下列结论中有一条是错误的，错误的结论是(A)若行列式0,A则A正定；(B)若1A存在且正定，则A正定；(C)若A的特征值全大于0，则A正定；(D)若A合同于单位矩阵，则A正定。三.计算1、(10分)在线性空间22P中，123123110100100212,,,,,,001011101112AAABBB1）求123123(,,)(,,)LAAALBBB的维数与一组基.2）求123123(,,)(,,)LAAALBBB的维数与一组基.2．设122313142434()fxxxxxxxxxxxxx。求一非退化的线性替换，化该二次型为规范形，并指出该二次型的正惯性指数，负惯性指数和符号差．（10分）3．（12分）判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个正交矩阵T，使TTAT化成对角矩阵.其中022244243A4．（10分）设142034043A，求kA。四、证明题（10分）设12,,,n及12,,,n为n维欧氏空间V的两组基，且前者为标准正交基。又1212(,,,)(,,,)nnA。证明：12,,,n是标准正交基的充分与必要条件是，A为正交矩阵。