求点的轨迹方程的六种常见方法

1.三角形ABC的周长为14，且求动点A的轨迹方程)0,2(),0,2(BA一：定义法已知，动点P满足则P的轨迹方程为？)0,2(),0,2(BA4||||PBPA11ΔABCBC=aAsinC-sinB=sinA2A.【例】在中，已知，当动点满足条件时，求动点的轨迹方程1.定义法2222BCxBCy.1ABAC1BCsinC-sinB=sinA-=22R2R22R1AB-AC=a.2A2c=a.xya-=12m=AB-AC=mn2解：以边所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系因为，由正弦定理得：，所以（定值）根据双曲线定义，点的轨迹方程是双曲线的右支（除顶点），它的焦距是设双曲线方程为：，则，所222222222222aam=m=416aa3axyn=c-m=()-=A-=1(x0)a3a2161616162RR以，，又，故动点的轨迹方成为：正弦定理：在一个三角形中，各边和它对角的正弦的比相等且等于（是三角形外接圆半径）直译法•动点直接与已知条件联系，直接列动点的关系式，即可求得轨迹方程，此类问题非常容易，现在的高考已经不可能单独考察此类问题，即使出现也将是某个题目的一个中间步骤。•以下举一个例子说明：1．动点P到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程求点P的轨迹方程2.已知点，满足二：直接法)0,2(),0,2(BA),(yxP2xPBPA小结直接法：只有一个动点的等式或者通过条件可以转化成只有一个动点的等式步骤：1.设要求轨迹点为2.直接把等式翻译成的方程),(yxyx,高分组挑战低分组（5）2.直译法求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程。PABxyo22(2)2||xyx变式：外切改为相切呢？解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得222(2)(2||)xyx即-4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x0),或y2=8x(x0)2【例】相关点法•如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q（u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程，间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较易的题目。•以下举一个例子说明：3.相关点法过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.4【例】解:设点P,Q的坐标分别为P(x,y),Q(u,v),则N点坐标为(2x-u,2y-v).点N在直线x+y=2上,2x-u+2y-v=2①又PQ垂直于直线x+y=2,所以②联立①②得:又点Q在双曲线上,即u2-v2=1,即得动点P的轨迹方程为:2x2-2y2-2x+2y-1=01,yuxv即x-y+v-u=03112213122uxyvxy如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线：x2+2y2=4交于C,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。AoxyBCPG解法一：利用韦达定理解法二：点差法连PO交CB于G.设P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=003yx解得，x0=2231kk231kky0=x=2261kk261kky=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?4.参数法5【例】交轨法•若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，即为所求动点的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。此类问题难度较大，曾经在高考压轴题中出现过，但不论复杂程度如何，牢牢把握曲线相交的性质就把握了解题的关键。•以下举两个例子说明：121212112212111221221122.(,)(,)(,)(,)(,).AAPPAAAPAPAAxOORPmnAPAPPxyAROAROPmnAPPAP【例6】设、是一个圆的一条直径的两个端点，是垂直的弦，求直线与交点的轨迹方程解：以直线位轴，圆心为原点，建立平面直角坐标系，如图.设的半径为，，与交点，则，，因为、、三点共线，、222222PynxRmRmnRynxRRmxyR、三点共线，所以，且所以即为所求的轨迹方程.A1A2PP2P1Oxy5.交轨法ABCDEFGPOxy044G.aABCDABBCaOABEFGBCCDDABECFDPGEOFBCCDDAP【例7】（2003年高考数学全国卷第22题）已知常数，在矩形中，，，为的中点.点、、分别在、、上移动，且为与的交点（如图）.问：是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐.标及此定值；若不存在，请说明理由(2,0)(2,0)(2,4)(,2,4).(01).(2,4)(24,4)(2,44).2(21)0PPABCaDaBECFDCkkEakFkaGaakBCCDDAOFaxkyGE解：根据题设条件，首先求出点坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，使得到两定点距离的和为定值.按题意有，，，设，由此有，，直线的方程为：，直线222222222(21)20.(,)220()1.12121212akxyakPxyaxyayxyaaaPaPPaP的方程为：从两直线方程中消去参数，得点坐标满足方程，整理得当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点当时，点的轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离的和为定长.当时，点2222211(,)(,)2.22111(0,)(0,)2.222aaaaaPaaaaa到椭圆两个焦点和的距离之和为定值当时，点到椭圆两个焦点和的距离之和为定值几何法•运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何的知识，分析轨迹形成的条件，求出轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为几何法。在解决某些复杂问题时，深入分析图形性质，利用此种方法，可能非常简便。•以下举一个例子说明：2222266140(3,5)(3)(3)4(3,3).(,)3511(33CMPQxyxyAxyCAPQMxyPQCMCMPQyykkxyxx【例8】已知圆的方程为，求过点的直线交圆的弦的中点的轨迹.解：圆的方程为，则圆心的坐标为设过点的直线交圆于、两点，是的中点，连，则，故有：，则，整理得：2221)25(1)25xy，所以所求轨迹方程是圆在已知圆内的一段弧..C3-3-5.CPQMXY6.几何法•定义法•直译法•也称相关点法:所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线,所的方程即为所求.•参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方程,再化为普通方程.一、求动点的轨迹方程的常用方法二、注意1、化简要等价变形，且能结合图形对题意的检验2、要区分轨迹与轨迹方程3、如何合理引参？五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等