1.3.2杨辉三角与二项式系数

第一章计数原理§1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质长沙县一中高二数学备课组011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb一般地，对于n∈N*有二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？课前练习:1．乘积12312312345aaabbbccccc有___项.2．展开5ab，其中23ab的系数是______.453510C下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？复习回顾𝑻r+1=𝐶𝑛𝑟𝑎𝑛−𝑟𝑏𝑟计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性《详解九章算法》中记载的表杨辉杨辉三角(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++𝐶𝑛𝑚+𝐶𝑛𝑚−1=𝐶𝑛+1𝑚展开式的二项式系数依次是：(𝑎+𝑏)𝑛C𝑛0,C𝑛1,C𝑛2,⋯,C𝑛𝑛从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数其定义域是：C𝑛𝑟𝑓(𝑟)0,1,2,⋯,𝑛当时，其图象是右图中的7个孤立点．𝑛=6（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．C𝑛𝑚=C𝑛𝑛−𝑚图象的对称轴：𝑟=𝑛2（2）增减性与最大值1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnnnnnknkkkk由于：所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn1由：2111nkkkn21nk可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。因此，当n为偶数时，中间一项的二项式C𝑛𝑛2系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、C𝑛𝑛−12C𝑛𝑛+12相等，且同时取得最大值。（2）增减性与最大值（3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：𝑎=𝑏=1C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+⋯+C𝑛𝑛=2𝑛这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：(𝑎+𝑏)𝑛2𝑛一般地，展开式的二项式系数有如下基本性质：(𝑎+𝑏)𝑛𝐶𝑛0,𝐶𝑛1,⋯𝐶𝑛𝑛（2）𝐶𝑛𝑚+𝐶𝑛𝑚−1=𝐶𝑛+1𝑚（4）𝐶𝑛0+𝐶𝑛1+⋯+𝐶𝑛𝑛=2𝑛（3）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=且最大C𝑛𝑛2C𝑛𝑛−12C𝑛𝑛+12（1）𝐶𝑛𝑚=𝐶𝑛𝑛−𝑚（对称性）例1.证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。证明：在二项式定理中，令，则：𝑎=1,𝑏=−11−1𝑛=𝐶𝑛0−𝐶𝑛1+𝐶𝑛2−𝐶𝑛3+⋅⋅⋅+(−1)𝑛𝐶𝑛𝑛二项式定理：(𝑎+𝑏)𝑛=𝐶𝑛0𝑎𝑛+𝐶𝑛1𝑎𝑛−1𝑏+⋅⋅⋅+𝐶𝑛𝑟𝑎𝑛−𝑟𝑏𝑟+⋅⋅⋅𝐶𝑛𝑛𝑏𝑛0=(𝐶𝑛0+𝐶𝑛2+⋅⋅⋅)−(𝐶𝑛1+𝐶𝑛3+⋅⋅⋅)𝐶𝑛0+𝐶𝑛2+𝐶𝑛4+⋅⋅⋅=𝐶𝑛1+𝐶𝑛3+𝐶𝑛5+⋅⋅⋅典例赏析结论：各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝.2n2n-1赋值法在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.跟踪练习1解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；解奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.解令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.解令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(4)奇数项系数和与偶数项系数和；令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝1－5102；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1＋5102.例2：在(3x+2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数最大的项.(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC812812892032TCxy即3(r+1)2(20-r)解得2(21-r)3r所以当r=8时，系数最大的项为227855r典例赏析解:(1)二项式系数最大的项是第11项.𝑇𝟏𝟏=𝐶20𝟏𝟎⋅31𝟎⋅2𝟏𝟎⋅𝑥1𝟎𝑦𝟏𝟎∴𝑇5=𝑇4+1=𝐶184𝑥18−41𝑥344=3060𝑥4已知𝑥+1𝑥34𝑛的展开式中只有第10项系数最大,求第五项解：依题意,𝑛为偶数且𝑛2+1=10,𝑛=18.跟踪练习2[当堂达标·固双基]1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)是项展开式的第r项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.()Crnan－rbr××√×2.(2015·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.29B.210C.211D.212解析由题意，C3n＝C7n，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.A(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想a单调性；b图象；c最值.对称性增减性与最大值各二项式系数的和小结：THANKS