数学建模及典型案例分析

李志林，欧宜贵编著化学工业出版社广西民族大学数学与计算机科学学院曹敦虔制作目录1.数学建模导言2.插值与拟合3.微分方程建模方法4.差分法建模5.计算机模拟6.层次分析法7.数据的统计描述与分析8.回归分析方法9.优化模型10.确定型时间序列预测法11.随机型时间序列预测法数学建模及典型案例分析1数学建模导言1.数学模型及其分类2.数学建模例子3.数学建模的基本方法和步骤各种模型各种模型各种模型各种模型各种模型各种模型模型这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原型替代物。数学模型什么是数学模型数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。例如在牛顿力学中的公式f=ma,s=vt.爱因斯坦的质能方程E=mc2.这些都是数学模型.数学建模就是建立数学模型的过程。？数学模型的分类按应用领域分类:人口模型，环境模型、交通模型、生态模型……按建模方法分类：初等模型、微分方程模型、差分方法模型、统计回归模型、数学规划模型……按是否考虑随机因素分类：确定性模型和随机模型按变量的连续性分类：连续模型和离散模型按对对象内部规律了解程序分类：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型按变量的基本关系分类：线性模型和非线性模型按是否考虑时间变化分类：静态模型和动态模型示例1鸭子过河有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。示例1鸭子过河模型假设1.假设河的两岸为平行直线，河宽为h;2.鸭子游水的速率为b,水流速率为a,均为常数;3.初始时鸭子的位置为A;4.鸭子游动的方向始终指向O.示例1鸭子过河模型建立取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸。关键是如何求出P点坐标(x,y)关于时刻t的表达式.示例1鸭子过河t时刻鸭子本身的速度为河水速度为所以合速度为),,(||22yxyxbOPOPbb),0,(aa),,(2222yxbyyxbxabav示例1鸭子过河即又由初始条件有(1.1)(1.2)就是所求问题的一个微分方程模型。.)0(,0)0(hyx(1.2),dd,dd2222yxbytyyxbxatx(1.1)示例1鸭子过河模型求解1.数值解设时间步长为Δt,则,2,1,),(),,(),,(),,0(),(11212112121110000itvPyxPyxbyyxbxavbavhyxPiiiiiiiiiiii(1.3)示例1鸭子过河当yi0时,说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算.由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.ixiyiixiyi1010122.01203.592820.30009.4000132.01883.069330.58098.8003141.98912.568040.84138.2016151.92172.093751.08017.6047161.81601.651661.29577.0107171.67211.247971.48676.4207181.49130.889181.65135.8362191.27590.581891.78805.2588201.03000.3329101.89494.6908210.75910.1484111.97014.1344220.47020.0333例如取a=1,b=2,h=10,Δt=0.3,则求得结果为计算(1.3)的Matlab代码clc%清屏%鸭子过河问题a=1;b=2;h=10;dt=0.3;%设置参数i=1;P=[0,h];%初始值whileP(i,2)0i=i+1;v=[a-b.*P(i-1,1)./sqrt(P(i-1,1).^2+P(i-1,2).^2),-b.*P(i-1,2)./sqrt(P(i-1,1).^2+P(i-1,2).^2)];%计算第i步的速度P(i,:)=P(i-1,:)+v.*dt;%计算第i步位置endP%显示结果plot(P(:,1),P(:,2))%作图示例1鸭子过河所求得的鸭子经过的路线如右图所示。思考：此方法所求得的结果为近似值，为什么？示例1鸭子过河2.精确解由(1.1)(1.2)可以得到.0)(,dd222222hxyxbyyxayxbyyxbxayx(1.4)示例1鸭子过河(1.4)可以看成是另一种形式的微分方程模型.它是一个的常微分方程初值问题.求解它可以得到精确解.0,211hyhyhyhxbaba(1.5)求解方程(1.4)的Maple代码:assume(h0);sol:=dsolve({D(x)(y)=-a*sqrt(x(y)^2+y^2)/(b*y)+x(y)/y,x(h)=0},x(y)):simplify(allvalues(sol));示例1鸭子过河进一步讨论1.如果ba,结果会怎么样?2.如果不要求鸭子一定要达到正对岸O,问鸭子以怎样的游动方向才能以最少的时间到达对岸?建模过程总结简化假设设定符号变量建立模型求解模型解的讨论及推广应用数学建模的基本方法和步骤基本方法1.机理分析2.测试分析数学建模的基本方法和步骤一般步骤1.问题分析2.模型假设3.模型建立4.模型求解5.模型检验和应用数学建模的基本方法和步骤实现对象数学模型数学模型的解现实对象的解假设、抽象、表达求解解释、翻译验证、应用简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分数学建模论文写作标题作者信息摘要关键词正文参考文献附录姓名通信地址使用什么方法解决什么问题得到什么结论问题重述问题分析模型建立模型求解模型应用模型评价列出你所参考的文献资料较长的程序，不是很重要的推导过程、图表等