2014年北京高考预测理科数学试题及答案

第1页共16页2014高考数学预测卷(理科)第2页共16页2014年北京市高考模拟试卷数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合2{(,)|,}MxyyxxR，{(,)|2,}NxyyxxR，则MNI等于（）A．0,B．(,)C．D．{(2,4)，(1,1)}2．在复平面内，复数1ii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．,ab为非零向量，“函数2()()fxaxb为偶函数”是“ab”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为（）A．0B．1C．2D．115．如果存在正整数和实数使得函数)(cos)(2xxf（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为（）A．1B．2C．3D.46.已知椭圆2214xy的焦点为12,FF，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得120PFPF的点M的概率为（）21xx是否3n≤1nnx输入开始1nx输出结束112yOx第3页共16页A．23B．63C．263D．127．设1220()||faxadx当0a时，则()fa的最小值为()．A．23B．14C．13D．无最小值8.设点(1,0)A，(2,1)B，如果直线1axby与线段AB有一个公共点，那么22ab有（）A．最小值为15B．最小值为55C．最大值为15D．最大值为55第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知曲线C的参数方程为2cos,sinxy（为参数），则曲线上C的点到直线3440xy的距离的最大值为．10.设nS是等比数列{}na的前n项之和，3S、9S、6S成等差数列，且252maaa，则m的值为．11．某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.12．如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22，3AB，则切线AD的长为．OADBC第4页共16页13.如右图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且B4AAF.若ADxAFyAE，则实数x，实数y.14.（立体几何）正三棱锥DABC的底面边长为4，侧棱的长为8，过A点做与侧棱DB、DC分别交予E、F，那么AEF△周长的最小值是.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数2cos2cos2sin3)(2xxxxf，当)(Bf取最大值23时，判断△ABC的形状．ABCDE··F第5页共16页16．（本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,7676,8282,8888,9494,100元件A8124032[来源:学科网ZXXK]8元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．第6页共16页17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA//平面BMQ；（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．PABCDQM第7页共16页18．（本小题满分13分）已知,Pxy为函数1lnyx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率kfx．(Ⅰ)若函数fx在区间1,3aa0a上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果对任意的1x，22xe，，有121211()()fxfxmxx，求实数m的取值范围．第8页共16页19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyGabab的左、右焦点，椭圆G与抛物线24yx有一个公共的焦点，且过点6(,1)2.(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)设点P是椭圆G在第一象限上的任一点,连接12,PFPF,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆G有且只有一个公共点,设直线12,PFPF的斜率分别为1k,2k,试证明1211kkkk为定值,并求出这个定值；（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作22FQFP，设2FQ交l于点Q，证明:当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上.第9页共16页20．（本小题满分13分）已知数列{}nc满足（i）21nnnccc≤,(ii)存在常数M(M与n无关)，使得ncM恒成立，则称数列{}nc是和谐数列.（1）已知各项均为正数的等比数列{}na，nS为其前n项和；且34a，328S，求证：数列{}nS是和谐数列（2）已知各项均为正数、公比为q的等比数列{}nb,nT为其前n项和，求证：{}nT是和谐数列的充要条件为：01q第10页共16页参考答案及评分标准（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D2．A3．C4．C5．B6．B7．B8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．310．811．60，4812．1513．2、114．11(提示：把几何体展开时A/E/F三点共线周长最短)注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)………3分∵0Aπ，（或写成A是三角形内角……………………4分∴3A．……………5分（Ⅱ）2cos2cos2sin3)(2xxxxf311sincos222xx…………………7分1sin()62x，……………………9分∵3A∴2(0,)3B∴5666B（没讨论，扣1分）………………10分∴当62B，即3B时，()fB有最大值是23．…………………11分又∵3A，∴3C∴△ABC为等边三角形．……………………13分16．（本小题满分13分）第11页共16页（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为45，元件B为正品的概率为34。…………3分（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5x件，由题意知10020(5)300xx得到4,5x，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，则44555531381()()()444128PCCC。……………………………7分（ii）随机变量X的所有取值为150,90,30，-30，则433(150)545PX，133(90)5420PX，411(30)545PX，111(30)5420PX，所以X的分布列为：X1509030-30P3532015120…………………11分()EX3311150903030108520520…………………………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN．……………………1分∵BC∥AD且BC=12AD，即BC//AQ．∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又∵点M在是棱PC的中点，∴MN//PA……………………2分∵MN平面MQB，PA平面MQB，…………………3分∴PA//平面MBQ．……………………4分（Ⅱ）∵AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．……………………6分∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，又∵BQ在平面ABCD内……………………7分∴BQ⊥平面PAD．……………………8分第12页共16页∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．……………………9分另证：AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．……………………6分∵PA=PD，∴PQ⊥AD．……………………7分∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．……………………8分∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……………………9分（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．……………10分（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为(0,0,1)n；(0,0,0)Q，(0,0,3)P，(0,3,0)B，(1,3,0)C．………11分设(,,)Mxyz，则(,,3)PMxyz，(1,3,)MCxyz，∵PMtMC，PABCDQMNxyz第13页共16页∴(1)(3)3(xtxytyztz），∴13131txttytzt……………………12分在平面MBQ中，(0,3,0)QB，33(,,)111ttQMttt，∴平面MBQ法向量为(3,0,)mt．……………………13分∵二面角M-BQ-C为30°，23cos30230nmtnmt，∴3t．……………………14分18.（本小题满分13分）解：（1）由题意1lnxkfxx，0x，所以21lnlnxxfxxx………2分当01x时，0fx；当1x时，0fx．所以fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故fx在1x处取得极大值．……………………3分因为函数fx在区间1,3aa（其中0a）上存在极值，所以01113aa，得213a．即实数a的取值范围是213，．……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，()fx在2e，上单调递减，不妨设212xxe，则1221211221211111()()()()()()()mmfxfxmfxfxmfxfxxxxxxx函数()()mFxfxx在2e，上单调递减。……………8分第14页共16页由21ln()(),[,)mxmFxfxxexxx，则22ln()0xmFxxx在2[,)e上恒成立，所以lnmx在2[,)e上恒成立，所以，故2m.………………13分1