灰色GM(1-1)模型在福建省GDP预测中的应用

灰色GM（1，1）模型在福建省GDP预测中的应用摘要：灰色预测适用于影响因子众多，数据量少，且没有一定规律可循的特征量的预测。GDP指标综合性强，适用于灰色预测。本文通过建立灰色GM（1，1）模型，对福建省GDP进行预测，结果表明GM（1，1）模型对于GDP的预测具有良好的效果。关键词：灰色GM（1，1）模型，福建省GDP，灰色预测1前言灰色系统理论(简称灰理论GreyTheory)是由华中科技大学邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出，已经广泛应用于社会、经济、科技、农业、生态、生物等各个领域的预测与决策。通过对灰数建立的微分方程模型称为GM模型（GreyModel），而GM（1，1）则为典型的一个变量的一阶灰微分方程。本文通过对福建省1978年至2004年国民生产总值(GDP)的灰色预测，探求灰色GM（1，1）模型在GDP预测中的作用。2GM（1，1）模型的建立及其检验2．1模型的建立GM（1，1）模型的微分方程为：(1)(1)dXaXudt其建立的基本步骤为：⑴给出原始数据列为：(0)(0)(0)(0)()[(1),(2),....,()]XtXXXn⑵作一次累加生成（AGO），即(1)(0)1()(),kiXtXi得生成数据列如下：(1)(1)(1)(1)()[(1),(2),...,()]XtXXXn⑶构造系统矩阵B，Yn(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)(2)]/21[(2)(3)]/21[(1)()]/21XXXXBXnXn…………,(0)(0)(0)(2)(3)(2)TYnXXX……⑷求系数向量：1ˆTTaBBBYn⑸确定模型⑹回代检验⑺后验差检验：⑻利用模型进行预测2．2模型的检验模型检验采用后验差检验及平均相对误差、关联度指标。后验差检验方法包括方差比与小误差概率，其计算步骤为：①求原始数据X（0）的均值与(0)X的离差1S；②求残差数据平均值ˆ与残差的离差2S；③计算方差比：21/CSS；④求小误差概率：1|()|0.6745PPkS；⑤精度检验。根据以上计算结果，参照精度检验表（见表1），对模型的精度等级作出估计。表1模型精度等级参照表等级平均相对误差E方差比C小误差概率PⅠ级0.010.350.95Ⅱ级0.050.50.80Ⅲ级0.100.650.70Ⅳ级0.200.800.60各项检验指标的具体计算公式如下：相对误差()ek(0)(0)(0)ˆ()()()()XkXkekXk，平均相对误差11|()|nkEekn(1)X相对误差(1)(1)(1)ˆ()()()()XkXkqkXk，(1)X平均相对误差11|()|nkQqkn方差比121(0)11()1()nknkknSCSXkXn，其中()k是(0)X残差，(0)(0)ˆ()()()kXkXk，是(0)X残差平均值，1()nkkn关联度1/(|()|)1nkSSBBFiBBSn，其中(1)(1)ˆ()()(),min|()|,max|()|,FiXiXiSSFiBBFi表示分辨系数，本文取0.53数据处理与预测结果3．1数据来源本文搜集了福建省1978~2004年国民生产总值数据。数据如表2所示：表2福建省1978~2004年国民生产总值(GDP)数据(单位：亿元)年份197819791980198119821983198419851986GDP66.3774.1187.06105.62117.81127.76157.06200.48222.54年份198719881989199019911992199319941995GDP279.24382.43457.45523.8622.02787.711111.81685.32160.5年份197219731974197519761977197819791980GDP199619971998199920002001200220032004年份2606.93005.33330.23539.73894.24218.34620.55161.959743．2数据处理及结果分析根据福建省27年的GDP数据，进行四步建模试验：⑴整体建模试验。以福建省1978年至2004年的GDP为原始数据建模，检验模型效果，大体了解发展规律，图1为GM（1，1）模型预测情况。图11978至2004年福建省GDP预测值与实测值对照情况其原始数据如表2所示，预测公式为：(1)(0)0.0003ˆ(1)(1)220.4396154.0696akkuuXkXeeaa预测值的平均相对误差为0.0327，(1)X平均相对误差0.0187，方差比为0.1822，小误差概率为1，关联度为0.5335，模型精度不高。⑵区段建模试验。根据过去GDP的情况把1978年至2004年的GDP数据分为三个区段：1978~1992，1992~2000，2000~2004，然后分别建模预测，并把后几个年份的预测数据分别与相应年份的实际数据加以比较，分析各区段的变化规律，以便寻求理想的预测区间。⑶择优建模。通过整体和区段两次建模试验进行分析，选择2000年至2004年为最优建模区间。⑷模型处理。通过各个误差指标分析，修正个别数据，建立最优模型。2000年至2004年福建省GDP原始数据如下：(0)()Xk（3894.24218.34620.55161.95974），预测公式为：(1)(0)0.0007ˆ(1)(1)4495.0307600.8307akkuuXkXeeaa，再还原得(0)(1)(1)ˆˆˆ()(1)()XkXkXk，由此得2000年至2004年还原模型值为：(0)ˆ()Xk=（3894.24165.746695241.25892.8）预测值的平均相对误差为0.0012，(1)X平均相对误差为2.4852e-004，方差比为0.0777，小误差概率为1，关联度为0.8394，模型精度Ⅰ级。图2为预测值与实测值的对照图。图22000至2004年福建省GDP预测值与实测值对照情况我们利用此模型对2005年福建省GDP进行预测，最终预测结果为6636.2亿元。2005年福建省实际GDP为6560.07亿元，预测相对误差为1.16%，这说明预测值与实际结果是很接近的。进一步对2006年~2008年福建省GDP预测见表3。结果表明，未来3年福建省GDP仍将保持较高速度的增长。表3福建省2006年~2008年GDP预测值年度2006年2007年2008年GDP7485．48457．29571．2年增长率14．11%12．98%13．17%其他2个区段的模型检验指标如表4所示：表4其他2个区段的模型检验指标年份平均相对误差(1)X平均相对误差ε方差比C小误差概率P模型精度等级关联度S1978~19920．00660．00120．06131Ⅰ级0．67561992~20000．01260．00470．22991Ⅱ级0．6704通过表4各项检验指标可以看出模型的精度很高。但是由图1可以看出，灰色预测值是一条光滑曲线，只能反映GDP的总体变化趋势，对于波动变化难于准确预测。4结论灰色GM（1，1）模型的预测值是一条光滑的曲线，因此适用于起伏变化不大的数据列预测。本文通过对福建省1978年~2004年GDP数据进行分区段建模，模型精度较高，可以适用短期（3~5年）的预测。总之，灰色GM（1，1）模型适用于影响因素众多，数据量少且无一定规律可循的特征量的预测。而GDP综合性强，层次高，适用于灰色GM（1，1）模型。参考文献：[1]邓聚龙，灰理论基础，华中科技大学出版社，2002年[2]王学萌、张继忠、王荣，灰色系统分析及实用计算程序，华中科技大学出版社，2001年[3]邓聚龙，灰色系统论文集，华中理工大学出版社，1989年[4]赵蕾、陈美英，ARIMA模型在福建省GDP预测中的应用，科技和产业，2007，7（1）